Giải Toán 11 Chương IX. Đạo hàm - SGK Kết nối tri thức

Chương IX. Đạo hàm - SGK Toán 11 Kết nối tri thức: Tổng quan

Chương IX trong sách Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào việc giới thiệu khái niệm đạo hàm, ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

1. Khái niệm đạo hàm

Đạo hàm của một hàm số f(x) tại một điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0. Công thức tính đạo hàm: f'(x₀) = lim_Δx→0 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

2. Ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm

Ý nghĩa hình học: Đạo hàm f'(x₀) biểu diễn hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x₀.

Ý nghĩa vật lý: Trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời khi biết hàm vị trí theo thời gian, hoặc gia tốc khi biết hàm vận tốc theo thời gian.

3. Các quy tắc tính đạo hàm

Quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xⁿ)' = nx^n-1
Quy tắc đạo hàm của hàm số đa thức: (u + v)' = u' + v'
Quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số: (uv)' = u'v + uv'
Quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: (u/v)' = (u'v - uv') / v²
Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

4. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Hàm số	Đạo hàm
y = c (c là hằng số)	y' = 0
y = xⁿ	y' = nx^n-1
y = sin x	y' = cos x
y = cos x	y' = -sin x
y = tan x	y' = 1/cos²x

5. Ứng dụng của đạo hàm

Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm được sử dụng để tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Khảo sát hàm số: Đạo hàm giúp xác định tính đơn điệu, khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Giải các bài toán tối ưu: Đạo hàm được sử dụng để giải các bài toán tối ưu hóa trong kinh tế, kỹ thuật,...
Tính gần đúng: Đạo hàm có thể được sử dụng để tính gần đúng giá trị của hàm số tại một điểm.