Bài 33. Đạo hàm cấp hai

Trong chương trình Toán 11, đạo hàm cấp hai đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích sự biến thiên của hàm số và giải quyết các bài toán liên quan đến tối ưu hóa. Bài 33 trong sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào việc tìm hiểu về đạo hàm cấp hai, cách tính đạo hàm cấp hai của các hàm số đơn giản và ứng dụng của đạo hàm cấp hai trong việc xác định tính lồi, lõm của đồ thị hàm số.

1. Khái niệm đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), ký hiệu là f''(x) hoặc d²y/dx², là đạo hàm của đạo hàm cấp nhất f'(x). Nói cách khác, đạo hàm cấp hai cho biết tốc độ thay đổi của đạo hàm cấp nhất.

Công thức tính đạo hàm cấp hai:

f''(x) = d/dx (f'(x))

2. Cách tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai của một hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm cấp nhất f'(x).
Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x³ - 2x² + 3x - 1

Bước 1: Tính đạo hàm cấp nhất:

f'(x) = 3x² - 4x + 3

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai:

f''(x) = 6x - 4

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = sin(x)

Bước 1: Tính đạo hàm cấp nhất:

f'(x) = cos(x)

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai:

f''(x) = -sin(x)

3. Ứng dụng của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:

Xác định tính lồi, lõm của đồ thị hàm số: Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó. Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.
Tìm điểm uốn: Điểm uốn là điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại. Tại điểm uốn, đạo hàm cấp hai bằng 0 hoặc không tồn tại.
Giải quyết các bài toán tối ưu hóa: Đạo hàm cấp hai có thể được sử dụng để xác định các điểm cực trị của hàm số và giải quyết các bài toán tối ưu hóa.

4. Bài tập vận dụng

Dưới đây là một số bài tập vận dụng để bạn luyện tập:

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

f(x) = x⁴ + 5x³ - 2x + 7
f(x) = cos(2x)
f(x) = e^x

Xác định tính lồi, lõm của đồ thị hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2x trên các khoảng (-∞, 1) và (1, +∞).
Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1.

5. Kết luận

Bài 33. Đạo hàm cấp hai cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về đạo hàm cấp hai, cách tính và ứng dụng của nó. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm một cách hiệu quả và tự tin hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.

Chúc bạn học tập tốt!