Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0 (nếu giới hạn này tồn tại).

Công thức: f'(x₀) = lim_Δx→0 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

Trong đó:

f(x) là hàm số
x₀ là điểm tại đó tính đạo hàm
Δx là độ biến thiên của đối số

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm f'(x₀) của hàm số f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x₀.

Tiếp tuyến là đường thẳng đi qua điểm (x₀, f(x₀)) và có hệ số góc f'(x₀).

3. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Trong vật lý, đạo hàm thường được sử dụng để biểu diễn vận tốc tức thời. Nếu s(t) là hàm biểu diễn quãng đường đi được của một vật tại thời điểm t, thì vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm của s(t) theo t, ký hiệu là v(t) = s'(t).

4. Các quy tắc tính đạo hàm

4.1. Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Nếu f(x) = xⁿ (n là số nguyên), thì f'(x) = n.x^n-1

4.2. Đạo hàm của hàm số đa thức

Nếu f(x) = P(x) là một đa thức, thì f'(x) là một đa thức và f'(x) = P'(x) được tính bằng quy tắc đạo hàm của tổng và tích.

4.3. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số

[u(x) + v(x)]' = u'(x) + v'(x)
[u(x) - v(x)]' = u'(x) - v'(x)
[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
[u(x)/v(x)]' = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]²

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 1

Giải:

f'(x) = (3x²)' + (2x)' - (1)' = 6x + 2

Bài 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ - 2x + 1 tại điểm có hoành độ x = 1

Giải:

y' = 3x² - 2

Tại x = 1, y' = 3(1)² - 2 = 1

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là 1.

6. Kết luận

Bài học hôm nay đã giúp các em hiểu rõ về định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, cũng như các quy tắc tính đạo hàm cơ bản. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để các em học tốt các bài học tiếp theo về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong toán học và các lĩnh vực khác.

Các em hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Chúc các em học tốt!