Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức
Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức
Chào mừng bạn đến với bài học về các quy tắc tính đạo hàm trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức tại montoan.com.vn. Đạo hàm là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi của hàm số.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về các quy tắc tính đạo hàm cơ bản, từ đó giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng (a; b). Khi đó
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {u + v} \right)}^\prime } = u' + v';}\\{{{\left( {u - v} \right)}^\prime } = u' - v';}\\{{{\left( {uv} \right)}^\prime } = u'v + uv';}\\{{{\left( {\frac{u}{v}} \right)}^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right);}\end{array}\)
\(\left( {ku} \right)' = ku'\) (k là hằng số);
\(\left( {\frac{1}{v}} \right)' = - \frac{{v'}}{{{v^2}}}\left( {v \ne 0} \right)\).
2. Đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là \(u{'_x}\) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là \(y{'_u}\) thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).
3. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp
Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức
Đạo hàm của một hàm số f(x) tại một điểm x, ký hiệu là f'(x), biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Hiểu rõ về đạo hàm là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán trong toán học và các ứng dụng thực tế.
1. Đạo hàm của hàm số đơn giản
Trước khi đi vào các quy tắc, chúng ta cần nắm vững đạo hàm của một số hàm số cơ bản:
- Đạo hàm của hằng số: (c)' = 0
- Đạo hàm của x mũ n: (xn)' = n*xn-1
- Đạo hàm của căn bậc hai của x: (√x)' = 1/(2√x)
2. Các quy tắc tính đạo hàm
Trong quá trình giải toán, chúng ta thường gặp các hàm số phức tạp hơn. Để tính đạo hàm của chúng, chúng ta sử dụng các quy tắc sau:
2.1. Quy tắc cộng, trừ, nhân, chia
Giả sử u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm tại x:
- (u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)
- (u(x) - v(x))' = u'(x) - v'(x)
- (u(x) * v(x))' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
- (u(x) / v(x))' = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))2
2.2. Quy tắc đạo hàm của hàm hợp
Nếu y = f(u) và u = g(x), thì dy/dx = (dy/du) * (du/dx). Đây là quy tắc quan trọng để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp được tạo thành từ nhiều hàm số đơn giản.
3. Đạo hàm của một số hàm số đặc biệt
Ngoài các quy tắc chung, chúng ta cần nhớ đạo hàm của một số hàm số đặc biệt:
- Đạo hàm của hàm lượng giác:
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
- (tan x)' = 1/cos2 x
- (cot x)' = -1/sin2 x
- Đạo hàm của hàm mũ và logarit:
- (ex)' = ex
- (ax)' = ax * ln(a)
- (ln x)' = 1/x
- (loga x)' = 1/(x * ln(a))
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1
f'(x) = (3x2)' + (2x)' - (1)' = 6x + 2 - 0 = 6x + 2
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin(x2)
Đặt u = x2, thì f(x) = sin(u). Theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp, f'(x) = (sin(u))' * (x2)' = cos(u) * 2x = cos(x2) * 2x = 2x * cos(x2)
5. Luyện tập và củng cố kiến thức
Để nắm vững các quy tắc tính đạo hàm, bạn cần luyện tập thường xuyên. montoan.com.vn cung cấp một loạt các bài tập đa dạng với nhiều mức độ khó khác nhau để bạn có thể rèn luyện kỹ năng của mình.
6. Kết luận
Lý thuyết các quy tắc tính đạo hàm là nền tảng quan trọng cho việc học tập và nghiên cứu toán học. Hy vọng rằng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích để tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm.
