Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực

Bài 18 trong chương trình Toán 11 - Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào việc mở rộng khái niệm lũy thừa từ số mũ nguyên sang số mũ thực. Đây là một bước quan trọng trong việc xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học cao hơn, đặc biệt là trong lĩnh vực giải tích.

1. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực

Trước khi đi vào các tính chất và ứng dụng, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm lũy thừa với số mũ thực. Với số thực α và số thực x khác 0, lũy thừa x^α được định nghĩa như sau:

Nếu α là số nguyên dương, x^α = x * x * ... * x (α lần)
Nếu α = 0, x⁰ = 1 (với x ≠ 0)
Nếu α là số nguyên âm, x^α = 1 / x^-α (với x ≠ 0)
Nếu α là số hữu tỉ p/q (p, q là số nguyên, q ≠ 0), x^p/q = ^q√x^p (với x > 0)
Nếu α là số thực vô tỉ, x^α được định nghĩa thông qua giới hạn của các lũy thừa với số mũ hữu tỉ tiến tới α.

Lưu ý rằng, lũy thừa với số mũ thực chỉ xác định khi x > 0 (trừ một số trường hợp đặc biệt).

2. Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực tuân theo các tính chất tương tự như lũy thừa với số mũ nguyên, nhưng cần lưu ý một số điểm sau:

x^α * x^β = x^α+β
x^α / x^β = x^α-β
(x^α)^β = x^αβ
(x * y)^α = x^α * y^α
(x / y)^α = x^α / y^α

Các tính chất này đóng vai trò quan trọng trong việc đơn giản hóa biểu thức và giải các bài toán liên quan đến lũy thừa.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị của 2^1.5

2^1.5 = 2^3/2 = √(2³) = √8 = 2√2

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức x² * x^-1/2

x² * x^-1/2 = x^{2 - 1/2} = x^3/2

4. Ứng dụng của lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

Toán học: Giải phương trình, bất phương trình, tính đạo hàm, tích phân.
Vật lý: Mô tả các hiện tượng vật lý như sự tăng trưởng dân số, sự phân rã phóng xạ.
Kinh tế: Tính lãi kép, phân tích tăng trưởng kinh tế.
Khoa học máy tính: Thuật toán, phân tích độ phức tạp.