Chương VII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian - Tổng quan

Chương VII trong sách Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu các khái niệm và tính chất liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, giúp học sinh hiểu rõ hơn về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như giữa hai mặt phẳng.

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là nền tảng của chương này. Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta cần chứng minh nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

2. Hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90 độ. Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta có thể sử dụng các định lý liên quan đến đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Góc này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ. Việc tính toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đòi hỏi kiến thức về vectơ và tích vô hướng.

4. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc tạo bởi hai đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng. Góc này cũng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ. Để tính toán góc giữa hai mặt phẳng, ta thường sử dụng các định lý liên quan đến vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.

Các dạng bài tập thường gặp

• Chứng minh quan hệ vuông góc: Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, hoặc hai mặt phẳng vuông góc.
• Tính góc: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hoặc góc giữa hai mặt phẳng.
• Xác định điều kiện: Tìm điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, hoặc hai mặt phẳng vuông góc.
• Ứng dụng: Giải các bài toán thực tế liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian.

Phương pháp giải bài tập

1. Nắm vững định nghĩa và tính chất: Hiểu rõ các khái niệm và tính chất liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian.
2. Sử dụng các định lý: Áp dụng các định lý liên quan để chứng minh hoặc tính toán.
3. Vẽ hình: Vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung và giải quyết bài toán.
4. Sử dụng vectơ: Sử dụng vectơ và tích vô hướng để giải quyết các bài toán phức tạp.

Ví dụ minh họa

Bài tập: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với OC. Do đó, tam giác SOC vuông tại O. Ta có: OC = AC/2 = a√2/2. Suy ra tan góc SCO = SO/OC = a/(a√2/2) = √2. Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCO, có tan bằng √2.

Lời khuyên

Để học tốt chương này, các em cần dành thời gian ôn tập lý thuyết, làm nhiều bài tập và tham khảo các tài liệu bổ trợ. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn. Chúc các em học tốt!