Bài 26. Khoảng cách

Bài 26. Khoảng cách - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 26 trong sách giáo khoa Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu các khái niệm và công thức tính khoảng cách trong không gian. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đối tượng hình học trong không gian ba chiều.

I. Khái niệm khoảng cách trong không gian

Khoảng cách trong không gian là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm trong không gian. Để tính khoảng cách giữa hai điểm A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B), ta sử dụng công thức:

AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)

II. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Để tính khoảng cách d từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến đường thẳng Δ có phương trình tham số:

• x = x₀ + at
• y = y₀ + bt
• z = z₀ + ct

Ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm một điểm A thuộc đường thẳng Δ (chọn t = 0).
2. Tính vector a = (a, b, c) là vector chỉ phương của đường thẳng Δ.
3. Tính vector AM = (x₀ - x_A, y₀ - y_A, z₀ - z_A).
4. Tính khoảng cách d theo công thức: d = |AM x a| / |a|

III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Để tính khoảng cách d từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng (P) có phương trình:

Ax + By + Cz + D = 0

Ta sử dụng công thức:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

IV. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ₁ và Δ₂, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm một điểm A thuộc Δ₁ và một điểm B thuộc Δ₂.
2. Tính vector a là vector chỉ phương của Δ₁ và vector b là vector chỉ phương của Δ₂.
3. Tính vector AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A).
4. Tính vector n = a x b.
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng là: d = |AB . n| / |n|

V. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm M(1, 2, 3) đến đường thẳng Δ: x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3 + 2t.

Giải:

• Chọn t = 0, ta được điểm A(2, 1, 3) thuộc Δ.
• Vector chỉ phương của Δ là a = (1, -1, 2).
• Vector AM = (1 - 2, 2 - 1, 3 - 3) = (-1, 1, 0).
• AM x a = (0 - 2, -(-1 - 0), -1 - (-1)) = (-2, 1, 0).
• |AM x a| = √((-2)² + 1² + 0²) = √5.
• |a| = √(1² + (-1)² + 2²) = √6.
• Khoảng cách d = √5 / √6 = √(30) / 6.

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M(0, 0, 0) đến mặt phẳng (P): 2x - y + 3z - 5 = 0.

Giải:

d = |2(0) - 0 + 3(0) - 5| / √(2² + (-1)² + 3²) = 5 / √14 = 5√14 / 14.

VI. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về khoảng cách trong không gian, các em nên luyện tập thêm các bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. Montoan.com.vn sẽ tiếp tục cung cấp các bài giải chi tiết và hướng dẫn giải các bài tập khó để giúp các em học tốt môn Toán 11.