THCS
THCS
Bài 7.19 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập. Bên cạnh đó, chúng tôi còn cung cấp nhiều tài liệu học tập hữu ích khác.
Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.
Đề bài
Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.
a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong mặt phẳng vuông góc vào giao tuyến hai mặt phẳng tại cùng 1 điểm.
Lời giải chi tiết
Vì hình chóp S.ABC đều, gọi G là hình chiếu của S trên (ABC) nên G là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó G cũng là trọng tâm hay trực tâm của tam giác ABC.
Gọi AG cắt BC tại D
a) Ta có A là hình chiếu của A trên (ABC)
G là hình chiếu của S trên (ABC)
\( \Rightarrow \) AG là hình chiếu của SA trên (ABC)
\( \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,AG} \right) = \widehat {SAG}\)
Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Mà G là trọng tâm nên \(AG = \frac{2}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Xét tam giác SAG vuông tại G có
\(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{b^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} \)
\(\sin \widehat {SAG} = \frac{{SG}}{{SA}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} :b = \sqrt {1 - \frac{{{a^2}}}{{3{b^2}}}} \)
b) Ta có \(AG \bot BC,SG \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right);SD \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot SD\)
\(BC \bot AD\) (G là trực tâm)
\(\begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\ \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {AD,SD} \right) = \widehat {SDA}\end{array}\)
Mà G là trọng tâm nên \(GD = \frac{1}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
Xét tam giác SGD vuông tại G có
\(\tan \widehat {SGD} = \frac{{SG}}{{GD}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} :\frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{6}{{a\sqrt 3 }}.\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} \)
Bài 7.19 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11. Bài tập này yêu cầu học sinh áp dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi của một đại lượng.
Bài tập yêu cầu tính đạo hàm của hàm số và sử dụng đạo hàm để tìm các giá trị cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số. Ngoài ra, bài tập còn yêu cầu học sinh vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, ví dụ như bài toán về tối ưu hóa.
Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Định nghĩa đạo hàm: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi đối số tiến tới x0.
Các quy tắc tính đạo hàm: Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số. Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp.
Đạo hàm của các hàm số cơ bản: Đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit.
Dưới đây là lời giải chi tiết của bài tập 7.19 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức:
(a) Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1.
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x + 2
(b) Tìm các giá trị cực trị của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1.
Để tìm các giá trị cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x + 2 = 0
Giải phương trình bậc hai này, ta được hai nghiệm:
x1 = 1 - √3/3
x2 = 1 + √3/3
Để xác định xem các nghiệm này là điểm cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của đạo hàm bậc hai f''(x):
f''(x) = 6x - 6
f''(x1) = 6(1 - √3/3) - 6 = -2√3 < 0, do đó x1 là điểm cực đại.
f''(x2) = 6(1 + √3/3) - 6 = 2√3 > 0, do đó x2 là điểm cực tiểu.
Giá trị cực đại của hàm số là f(x1) = (1 - √3/3)3 - 3(1 - √3/3)2 + 2(1 - √3/3) - 1.
Giá trị cực tiểu của hàm số là f(x2) = (1 + √3/3)3 - 3(1 + √3/3)2 + 2(1 + √3/3) - 1.
Khi giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần chú ý các điểm sau:
Nắm vững định nghĩa đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm.
Sử dụng đạo hàm để tìm các giá trị cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Để củng cố kiến thức về đạo hàm, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức và các tài liệu tham khảo khác.
Montoan.com.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết và hướng dẫn này sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về bài tập 7.19 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
