Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \(\left| {{u_n} - 1} \right| < \frac{2}{n}\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức 1

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn

Lời giải chi tiết

\(\left| {{u_n} - 1} \right| < \frac{2}{n}\)

\( - \frac{2}{n} < {u_n} - 1 < \frac{2}{n}\)

\( - \frac{2}{n} + 1 < {u_n} < \frac{2}{n} + 1\)

\(\lim \left( { - \frac{2}{n} + 1} \right) = 1;\;\;\lim \left( {\frac{2}{n} + 1} \right) = 1\)

\( \Rightarrow \lim {u_n} = 1\)

Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài tập yêu cầu tính đạo hàm của hàm số và sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số. Cụ thể, bài tập có thể yêu cầu:

Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
Tìm các điểm tới hạn của hàm số, tức là các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số.

Lời giải chi tiết

Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa đạo hàm: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0.
Các quy tắc tính đạo hàm: Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp, và các hàm số cơ bản như hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác.
Điều kiện cực trị: Hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x₀ nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) < 0. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x₀ nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) > 0.

Ví dụ minh họa:

Giả sử hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Để tìm cực đại và cực tiểu của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm cấp một: f'(x) = 3x² - 6x.
Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 và x = 2.
Tính đạo hàm cấp hai: f''(x) = 6x - 6.
Xác định cực trị:

Tại x = 0, f''(0) = -6 < 0, do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại là f(0) = 2.
Tại x = 2, f''(2) = 6 > 0, do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

Lưu ý khi giải bài tập

Khi giải bài tập về đạo hàm, cần lưu ý các điểm sau:

Kiểm tra kỹ điều kiện xác định của hàm số.
Sử dụng đúng các quy tắc tính đạo hàm.
Kiểm tra lại kết quả bằng cách vẽ đồ thị hàm số hoặc sử dụng máy tính cầm tay.
Hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

Ứng dụng của đạo hàm

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tìm cực trị của hàm số: Ứng dụng trong kinh tế, kỹ thuật để tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí, hiệu suất.
Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số: Ứng dụng trong vật lý để mô tả vận tốc, gia tốc, và các đại lượng liên quan đến chuyển động.
Giải các bài toán tối ưu hóa: Ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau để tìm ra giải pháp tốt nhất cho một vấn đề cụ thể.

Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các bạn học sinh có thể nắm vững kiến thức và giải quyết thành công Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức. Chúc các bạn học tập tốt!