Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 11, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Bài 30 tập trung vào một trong những công cụ cơ bản nhất để tính xác suất: công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.

1. Biến cố độc lập là gì?

Trước khi đi sâu vào công thức, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm biến cố độc lập. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại.

Ví dụ: Gieo một đồng xu hai lần. Biến cố A: “Lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt ngửa” và biến cố B: “Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt sấp” là hai biến cố độc lập.

2. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì xác suất của biến cố A và B cùng xảy ra (ký hiệu là P(A ∩ B)) được tính theo công thức:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Trong đó:

P(A) là xác suất của biến cố A
P(B) là xác suất của biến cố B

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “Quả bóng thứ nhất lấy được màu đỏ” và B là biến cố “Quả bóng thứ hai lấy được màu đỏ”.

Ta có:

P(A) = 5/8 (vì có 5 quả bóng đỏ trên tổng số 8 quả bóng)
P(B|A) = 4/7 (vì sau khi lấy một quả bóng đỏ, còn lại 4 quả bóng đỏ trên tổng số 7 quả bóng)

Vì A và B là hai biến cố phụ thuộc (việc lấy quả bóng thứ nhất ảnh hưởng đến xác suất lấy quả bóng thứ hai), nên ta sử dụng công thức nhân xác suất cho hai biến cố phụ thuộc:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc hai lần. Tính xác suất để cả hai lần đều xuất hiện mặt 6.

Giải:

Gọi A là biến cố “Lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt 6” và B là biến cố “Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt 6”.

Ta có:

P(A) = 1/6
P(B) = 1/6

Vì A và B là hai biến cố độc lập, nên ta sử dụng công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/6) * (1/6) = 1/36

4. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Một túi chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ túi. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đen.
Gieo hai đồng xu. Tính xác suất để cả hai đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa.
Một người bắn súng. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người đó là 0.8. Người đó bắn 3 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng cả 3 phát.

5. Kết luận

Bài 30 đã cung cấp cho chúng ta kiến thức cơ bản về công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập. Việc nắm vững công thức này sẽ giúp các em giải quyết nhiều bài toán xác suất một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!