Chương 2 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Chương 2 trong sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu các khái niệm về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Đây là những kiến thức nền tảng quan trọng, không chỉ cho việc học tập môn Toán ở các lớp trên mà còn ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác của khoa học và kỹ thuật.

I. Dãy số

1. Khái niệm dãy số: Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập con của nó. Mỗi số hạng của dãy số được gọi là một phần tử của dãy.

2. Cách xác định dãy số: Dãy số có thể được xác định bằng công thức tổng quát, bằng phương pháp đệ quy hoặc bằng cách liệt kê các phần tử.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số không đổi: Dãy số được gọi là tăng nếu mỗi phần tử sau lớn hơn phần tử trước, giảm nếu mỗi phần tử sau nhỏ hơn phần tử trước và không đổi nếu mỗi phần tử bằng phần tử trước.

II. Cấp số cộng

1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi phần tử sau hơn phần tử trước một lượng không đổi, gọi là công sai (d).

2. Công thức tổng quát: u_n = u₁ + (n - 1)d, trong đó u_n là số hạng thứ n, u₁ là số hạng đầu tiên và d là công sai.

3. Tổng n số hạng đầu tiên: S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n - 1)d]

III. Cấp số nhân

1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi phần tử sau bằng tích của phần tử trước với một lượng không đổi, gọi là công bội (q).

2. Công thức tổng quát: u_n = u₁ * q^(n-1), trong đó u_n là số hạng thứ n, u₁ là số hạng đầu tiên và q là công bội.

3. Tổng n số hạng đầu tiên:

• Nếu q ≠ 1: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)
• Nếu q = 1: S_n = n * u₁

IV. Ứng dụng của dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Các khái niệm về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:

• Tính lãi kép trong ngân hàng.
• Tính sự tăng trưởng dân số.
• Tính sự phân rã của các chất phóng xạ.
• Giải các bài toán về hình học.

V. Bài tập minh họa

Bài 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3.

Giải: u₁₀ = u₁ + (10 - 1)d = 2 + 9 * 3 = 29

Bài 2: Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 2.

Giải: S₂₀ = u₁ * (1 - q²⁰) / (1 - q) = 1 * (1 - 2²⁰) / (1 - 2) = 2²⁰ - 1 = 1048575

Chương 2 cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và ứng dụng chúng vào thực tế.