Bài 7. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, công thức và các bài tập minh họa để giúp bạn nắm vững kiến thức về cấp số nhân.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số thực q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các tính chất của cấp số nhân

Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: S_n = a(1 - qⁿ) / (1 - q) nếu q ≠ 1
Tổng vô hạn của cấp số nhân là: S = a / (1 - q) nếu |q| < 1

3. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải: u₅ = u₁.q^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162

Bài 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và tổng vô hạn S = 2. Tính công bội q.

Giải: S = u₁ / (1 - q) => 2 = 1 / (1 - q) => 1 - q = 1/2 => q = 1/2

4. Ứng dụng của cấp số nhân

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Tính lãi kép
Tính sự tăng trưởng dân số
Tính sự phân rã phóng xạ

5. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức về cấp số nhân, bạn có thể thực hành thêm các bài tập sau:

Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân có u₁ = 5 và q = -2.
Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có u₁ = 3 và q = 2.
Tìm công bội q của cấp số nhân có u₁ = 1 và u₅ = 16.

6. Kết luận

Bài 7. Cấp số nhân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức về cấp số nhân sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán thực tế và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi sắp tới. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và giúp bạn hiểu rõ hơn về cấp số nhân.

Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều kiến thức thú vị khác tại montoan.com.vn!