Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài 5.12 thuộc chương trình Toán 11 tập 1, sách Kết nối tri thức, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm của hàm số. Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tính các giới hạn sau: a) (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to + infty } frac{{1 - 2x}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}) b) (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 2} - x} right))
Đề bài
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
b) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\) với \(n\) là số mũ lớn nhất.
b) Nhân với biểu thức liên hợp \((\sqrt A + B).(\sqrt A - B) = A - {B^2}\).
Lời giải chi tiết
Vì \(x \to + \infty \) nên \(x > 0\), suy ra \(\left| x \right| = x\).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{x} - 2}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{{0 - 2}}{{\sqrt {1 + 0} }} = - 2\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {{x^2} + x + 2} \right) - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} + x}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\left[ {\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1} \right]}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}} = \frac{{1 + 0}}{{\sqrt {1 + 0 + 0} + 1}} = \frac{1}{2}\).
Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các công thức và quy tắc đạo hàm cơ bản.
1. Nội dung bài tập
Bài tập 5.12 thường bao gồm các dạng bài sau:
- Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm cho trước.
- Tìm đạo hàm của hàm số.
- Xác định các điểm cực trị của hàm số.
- Khảo sát hàm số bằng đạo hàm.
2. Phương pháp giải
Để giải bài tập 5.12, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
- Sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản: Ví dụ, đạo hàm của x^n là nx^(n-1), đạo hàm của sin(x) là cos(x), đạo hàm của cos(x) là -sin(x),...
- Áp dụng các quy tắc đạo hàm: Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp,...
- Sử dụng đạo hàm cấp hai: Để xác định các điểm cực trị của hàm số, ta cần tính đạo hàm cấp hai và xét dấu của đạo hàm cấp hai tại các điểm nghi ngờ là cực trị.
- Khảo sát hàm số bằng đạo hàm: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu, điểm uốn,... của hàm số.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1.
Giải:
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
4. Lưu ý khi giải bài tập
- Đọc kỹ đề bài để xác định đúng yêu cầu của bài toán.
- Sử dụng đúng các công thức và quy tắc đạo hàm.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
- Rèn luyện thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng.
5. Mở rộng kiến thức
Ngoài việc giải bài tập 5.12, các em học sinh nên tìm hiểu thêm về các ứng dụng của đạo hàm trong thực tế, như tìm vận tốc, gia tốc, tối ưu hóa,...
6. Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải thêm các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức.
7. Kết luận
Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ tự tin giải bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là nền tảng quan trọng cho việc học các chương trình Toán học nâng cao hơn. Hãy dành thời gian ôn tập và thực hành thường xuyên để đạt được kết quả tốt nhất.
