THCS
THCS
Bài 4.19 trang 87 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương 1: Vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, điều kiện vuông góc và ứng dụng trong hình học.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu Bài 4.19 trang 87 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB//CD). Gọi E là một điểm nằm giữa S và A. Gọi (P) là mặt phẳng qua E và song song với hai đường thẳng AB, AD. Xác định giao tuyến của (P) và các mặt bên của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB//CD). Gọi E là một điểm nằm giữa S và A. Gọi (P) là mặt phẳng qua E và song song với hai đường thẳng AB, AD. Xác định giao tuyến của (P) và các mặt bên của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.
Lời giải chi tiết
Mặt phẳng (SAD) chứa đường thẳng AD song song với mp(P) nên mặt phẳng (P) cắt (SAD) theo giao tuyến song song với AD. Vẽ EG // AD (G thuộc SD) thì EG là giao tuyến của (P) và (SAD).
Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng AB song song với mp(P) nên mặt phẳng (P) cắt (SAB) theo giao tuyến song song với AB. Vẽ EF // AB (F thuộc SB) thì EF là giao tuyến của (P) và (SAB).
Ta có AB // CD, EF // AB suy ra CD // EF hay CD // mp(P)
Mặt phẳng (SCD) chứa đường thẳng CD song song với mp(P) nên mặt phẳng (P) cắt (SCD) theo giao tuyến song song với CD. Vẽ GH // CD (H thuộc SC) thì GH là giao tuyến của (P) và (SCD).
FH thuộc (P), FH thuộc (SBC) suy ra FH là giao tuyến của (P) và (SBC).
Tứ giác EFGH có EF // GH (vì cùng song song với CD) suy ra EFGH là hình thang.
Bài 4.19 yêu cầu chúng ta sử dụng kiến thức về tích vô hướng để xác định mối quan hệ giữa các vectơ và tính toán các yếu tố hình học. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập:
Để tính góc giữa hai vectơ a và b, ta sử dụng công thức:
cos(θ) = (a ⋅ b) / (|a| ⋅ |b|)
Trong đó:
Ví dụ, nếu a = (1; 2) và b = (-3; 1), ta có:
a ⋅ b = (1)(-3) + (2)(1) = -1
|a| = √(1² + 2²) = √5
|b| = √((-3)² + 1²) = √10
Vậy, cos(θ) = -1 / (√5 ⋅ √10) = -1 / √50 = -1 / (5√2)
Suy ra, θ = arccos(-1 / (5√2))
Hai vectơ a và b vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0:
a ⋅ b = 0
Ví dụ, nếu a = (x; y) và b = (2; -1), để a và b vuông góc, ta cần:
2x - y = 0
Hay y = 2x
Tích vô hướng được sử dụng để chứng minh các tính chất hình học như tính vuông góc, song song, và tính độ dài đoạn thẳng. Ví dụ, để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta có thể sử dụng tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng.
Ngoài ra, tích vô hướng còn được sử dụng để tính diện tích tam giác, hình bình hành, và các hình đa giác khác.
Nắm vững định nghĩa và các tính chất của tích vô hướng.
Sử dụng đúng công thức tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ.
Kết hợp kiến thức về tích vô hướng với các kiến thức khác trong hình học để giải quyết bài tập.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải bài tập.
Để củng cố kiến thức về tích vô hướng, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 4.19 trang 87 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
