Bài 15. Giới hạn của dãy số

Bài 15 trong sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức tập 1 tập trung vào khái niệm giới hạn của dãy số, một khái niệm then chốt để hiểu về sự hội tụ và phân kỳ của dãy số. Dãy số là một hàm số được định nghĩa trên tập hợp các số tự nhiên, và giới hạn của dãy số cho ta biết giá trị mà các số hạng của dãy số tiến tới khi số hạng thứ n tiến tới vô cùng.

1. Khái niệm giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Trong đó:

• u_n là số hạng thứ n của dãy số.
• L là giới hạn của dãy số.
• ε là một số dương nhỏ tùy ý.
• N là một số tự nhiên phụ thuộc vào ε.

2. Các dạng giới hạn của dãy số

Có ba dạng giới hạn chính của dãy số:

1. Dãy số hội tụ: Nếu dãy số có giới hạn hữu hạn L, ta nói dãy số hội tụ về L.
2. Dãy số phân kỳ ra vô cùng dương: Nếu với mọi số M dương, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có u_n > M, ta nói dãy số phân kỳ ra vô cùng dương. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = +∞.
3. Dãy số phân kỳ ra vô cùng âm: Nếu với mọi số M âm, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có u_n < M, ta nói dãy số phân kỳ ra vô cùng âm. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = -∞.

3. Các tính chất của giới hạn dãy số

Các tính chất quan trọng của giới hạn dãy số bao gồm:

• Giới hạn của tổng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
• Giới hạn của tích: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
• Giới hạn của thương: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại và lim_n→∞ v_n ≠ 0).

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giới hạn của dãy số u_n = 1/n.

Ta có: lim_n→∞ 1/n = 0. Vì với mọi ε > 0, ta có thể chọn N > 1/ε, khi đó với mọi n > N, ta có |1/n - 0| = 1/n < 1/N < ε.

Ví dụ 2: Tìm giới hạn của dãy số u_n = n².

Ta có: lim_n→∞ n² = +∞. Vì với mọi M > 0, ta có thể chọn N > √M, khi đó với mọi n > N, ta có n² > N² > M.

5. Bài tập áp dụng

Dưới đây là một số bài tập áp dụng để các em luyện tập:

1. Tìm giới hạn của dãy số u_n = (2n + 1) / (n + 3).
2. Tìm giới hạn của dãy số u_n = (-1)ⁿ.
3. Chứng minh dãy số u_n = (n + 1) / n hội tụ.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về giới hạn của dãy số. Chúc các em học tập tốt!