Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong chương Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ giúp các em giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong tương lai.

I. Khái niệm phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản là phương trình có chứa hàm số lượng giác (sin, cos, tan, cot) và ẩn số là góc lượng giác. Mục tiêu của việc giải phương trình lượng giác là tìm ra tất cả các giá trị của ẩn số (góc) thỏa mãn phương trình.

II. Các dạng phương trình lượng giác cơ bản và phương pháp giải

Phương trình sin(x) = a (với -1 ≤ a ≤ 1)

Để giải phương trình này, ta sử dụng các công thức sau:

Nếu a = 0 thì x = kπ, k ∈ Z
Nếu a = 1 thì x = π/2 + k2π, k ∈ Z
Nếu a = -1 thì x = -π/2 + k2π, k ∈ Z
Nếu -1 < a < 1 thì x = arcsin(a) + k2π hoặc x = π - arcsin(a) + k2π, k ∈ Z

Phương trình cos(x) = a (với -1 ≤ a ≤ 1)

Để giải phương trình này, ta sử dụng các công thức sau:

Nếu a = 0 thì x = π/2 + kπ, k ∈ Z
Nếu a = 1 thì x = k2π, k ∈ Z
Nếu a = -1 thì x = π + k2π, k ∈ Z
Nếu -1 < a < 1 thì x = arccos(a) + k2π hoặc x = -arccos(a) + k2π, k ∈ Z

Phương trình tan(x) = a (với mọi a ∈ R)

x = arctan(a) + kπ, k ∈ Z

Phương trình cot(x) = a (với mọi a ∈ R)

x = arccot(a) + kπ, k ∈ Z

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 1/2

Ta có: x = arcsin(1/2) + k2π = π/6 + k2π hoặc x = π - arcsin(1/2) + k2π = 5π/6 + k2π, k ∈ Z

Ví dụ 2: Giải phương trình cos(x) = -√2/2

Ta có: x = arccos(-√2/2) + k2π = 3π/4 + k2π hoặc x = -arccos(-√2/2) + k2π = 5π/4 + k2π, k ∈ Z

IV. Lưu ý quan trọng

Khi giải phương trình lượng giác, cần chú ý đến điều kiện xác định của hàm số lượng giác.
Luôn kiểm tra lại nghiệm để đảm bảo nghiệm tìm được thỏa mãn phương trình ban đầu.
Sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị lượng giác khi cần thiết.