Bài 15 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 15 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Giải tích
Bài 15 thuộc chương trình Giải tích lớp 11, tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các công thức và quy tắc đạo hàm đã học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 15 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D') có (AC' = sqrt 3 ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng (AB') và (BC') bằng
Đề bài
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AC' = \sqrt 3 \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\) bằng
A. \(\frac{1}{3}\).
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
D. \(\frac{1}{2}\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia
Lời giải chi tiết
Gọi AC giao BD tại O
Ta có \(AC \bot BD,BD \bot AA' \Rightarrow BD \bot \left( {ACC'A'} \right);BD \subset \left( {BDC'} \right) \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {BDC'} \right)\)
Mà \(\left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {BDC'} \right) = OC'\)
Trong (ACCA’) kẻ \(AE \bot OC'\)
Do đó \(AE \bot \left( {BDC'} \right)\)
Ta có AB’ // DC’ nên \(d\left( {AB',BC'} \right) = d\left( {AB',\left( {BDC'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BDC'} \right)} \right) = AE\)
Xét tam giác ABC vuông tại B có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {2A{B^2}} = AB\sqrt 2 \)
Xét tam giác ACC’ vuông tại C có
\(\begin{array}{l}A{C^2} + C{{C'}^2} = A{{C'}^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {AB\sqrt 2 } \right)^2} + A{B^2} = 3\\ \Leftrightarrow 3A{B^2} = 3\\ \Leftrightarrow AB = 1\\ \Leftrightarrow AC = \sqrt 2 \end{array}\)
Xét tam giác OCC’ vuông tại C có \(C'O = \sqrt {C{{C'}^2} + O{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)
Dễ dàng chứng minh
\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{CC'}} = \frac{{AO}}{{C'O}} \Rightarrow AE = \frac{{AO.CC'}}{{C'O}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}.1}}{{\frac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Đáp án B
Bài 15 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết
Bài 15 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Nội dung bài tập
Bài tập này thường bao gồm các dạng câu hỏi sau:
- Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm cho trước.
- Tìm đạo hàm của hàm số.
- Vận dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số, cực trị của hàm số, và các bài toán tối ưu hóa.
Lời giải chi tiết
Để giải quyết bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
- Các công thức đạo hàm cơ bản: đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit.
- Các quy tắc đạo hàm: quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, quy tắc hàm hợp.
- Ứng dụng của đạo hàm: tìm tiếp tuyến, cực trị, và giải các bài toán tối ưu hóa.
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài tập:
Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1 tại x = 2.
Lời giải:
f'(x) = 3x2 + 4x - 5
f'(2) = 3(2)2 + 4(2) - 5 = 12 + 8 - 5 = 15
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) tại x = 2 là 15.
Câu 2: Tìm đạo hàm của hàm số g(x) = sin(2x) + cos(x).
Lời giải:
g'(x) = 2cos(2x) - sin(x)
Vậy, đạo hàm của hàm số g(x) là 2cos(2x) - sin(x).
Câu 3: Tìm cực trị của hàm số h(x) = x3 - 3x2 + 2.
Lời giải:
h'(x) = 3x2 - 6x
Giải phương trình h'(x) = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
h''(x) = 6x - 6
h''(0) = -6 < 0, vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là h(0) = 2.
h''(2) = 6 > 0, vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là h(2) = -2.
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị là 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị là -2.
Lưu ý khi giải bài tập
Khi giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần chú ý các điểm sau:
- Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và các quy tắc đạo hàm.
- Kiểm tra kỹ các điều kiện của bài toán để đảm bảo tính chính xác của kết quả.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm giải toán để kiểm tra lại kết quả.
Tổng kết
Bài 15 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của nó. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài tập tương tự.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!
