Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

I. Khái niệm về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian, góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của d trên mặt phẳng (P). Để xác định góc này, ta cần tìm hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P). Nếu d vuông góc với (P) thì góc giữa d và (P) bằng 90°.

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc α, 0° ≤ α ≤ 90°, sao cho:

sin α = cos(90° - φ), với φ là góc giữa d và hình chiếu của d trên (P).

II. Khái niệm về góc nhị diện

1. Định nghĩa: Góc nhị diện là hình tạo bởi hai nửa mặt phẳng có chung một đường thẳng. Đường thẳng chung đó gọi là cạnh của góc nhị diện, còn hai nửa mặt phẳng gọi là hai mặt của góc nhị diện.

2. Cách đo góc nhị diện: Góc nhị diện được đo bằng góc giữa hai đường thẳng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, nằm trong hai nửa mặt phẳng khác nhau.

3. Ví dụ: Xét góc nhị diện có cạnh là đường thẳng a. Lấy hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai nửa mặt phẳng khác nhau của góc nhị diện. Gọi AH và BK là hai đường thẳng vuông góc với a tại H và K. Khi đó, góc nhị diện bằng góc AHB.

III. Bài tập áp dụng và giải chi tiết

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

Giải: Vì SA vuông góc với đáy ABCD nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Do đó, góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 90°.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và AB = BC = CA = a. Tính góc nhị diện [A, SB, C].

Giải: Gọi M là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều nên AM vuông góc với BC. Vì SA = SB = SC nên hình chóp S.ABC là hình chóp đều. Do đó, SM vuông góc với BC. Góc nhị diện [A, SB, C] bằng góc AMS.

Ta có AM = a√3/2 và SM = a√(2/3). Trong tam giác AMS, ta có cos AMS = AM/AS = (a√3/2)/a = √3/2. Suy ra AMS = 30°.

IV. Lưu ý quan trọng

Khi tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cần xác định đúng hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng.
Khi tính góc nhị diện, cần chọn hai điểm thích hợp trên hai nửa mặt phẳng để xác định góc.
Nắm vững các định nghĩa và tính chất liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện.

Hy vọng với bài viết này, các em đã hiểu rõ hơn về Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện - SGK Toán 11 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!