Bài 3. Phương trình mặt cầu

Bài 3. Phương trình mặt cầu - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan và Phương pháp giải

Bài 3 trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng phương trình mặt cầu trong không gian. Để hiểu rõ bài học này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về mặt cầu, tâm mặt cầu, bán kính mặt cầu và mối quan hệ giữa chúng với phương trình mặt cầu.

1. Khái niệm cơ bản về mặt cầu

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (tâm mặt cầu) một khoảng không đổi (bán kính mặt cầu). Phương trình mặt cầu có dạng:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Trong đó:

• (a, b, c) là tọa độ tâm mặt cầu
• R là bán kính mặt cầu

2. Các dạng bài tập thường gặp

Bài tập về phương trình mặt cầu thường xoay quanh các dạng sau:

1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu khi biết phương trình: Đây là dạng bài tập cơ bản, yêu cầu học sinh nhận biết các hệ số trong phương trình và xác định tâm, bán kính một cách chính xác.
2. Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính: Dạng bài tập này yêu cầu học sinh áp dụng trực tiếp công thức phương trình mặt cầu.
3. Xác định phương trình mặt cầu khi biết các yếu tố khác: Ví dụ, biết mặt cầu đi qua một số điểm cho trước hoặc tiếp xúc với một mặt phẳng. Đây là dạng bài tập nâng cao, đòi hỏi học sinh phải kết hợp kiến thức về phương trình mặt cầu với các kiến thức khác trong hình học giải tích.
4. Bài toán liên quan đến khoảng cách: Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt cầu, hoặc tìm các điểm thuộc mặt cầu thỏa mãn một điều kiện nào đó.

3. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về phương trình mặt cầu, học sinh cần:

• Nắm vững lý thuyết: Hiểu rõ định nghĩa, công thức và các tính chất liên quan đến mặt cầu.
• Phân tích đề bài: Xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán.
• Sử dụng các công cụ toán học: Áp dụng các công thức, định lý và phương pháp giải phù hợp.
• Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo kết quả tìm được thỏa mãn các điều kiện của bài toán.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x - 2)² + (y + 1)² + (z - 3)² = 9

Giải: So sánh với phương trình tổng quát (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R², ta có:

• a = 2
• b = -1
• c = 3
• R² = 9 => R = 3

Vậy tâm của mặt cầu là I(2, -1, 3) và bán kính R = 3.

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1, 0, -2) và bán kính R = 5.

Giải: Áp dụng công thức phương trình mặt cầu, ta có:

(x - 1)² + (y - 0)² + (z + 2)² = 5²

Hay (x - 1)² + y² + (z + 2)² = 25

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu, các em nên luyện tập thường xuyên các bài tập trong sách bài tập và các đề thi thử. Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu học tập trực tuyến và các video hướng dẫn trên internet.

6. Kết luận

Bài 3. Phương trình mặt cầu là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về phương trình mặt cầu sẽ giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi sắp tới. Chúc các em học tập tốt!