Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác

1. Khái niệm đường phân giác của tam giác

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với điểm nằm trên cạnh đối diện, sao cho nó chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Ví dụ, trong tam giác ABC, đường phân giác của góc A là đoạn thẳng AD, với D nằm trên BC và ∠BAD = ∠CAD.

2. Tính chất đường phân giác của tam giác

Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác của tam giác được phát biểu như sau:

Tính chất 1: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề góc đó.

Cụ thể, trong tam giác ABC, nếu AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC) thì:

BD/CD = AB/AC

3. Chứng minh tính chất đường phân giác

Để chứng minh tính chất này, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng tam giác đồng dạng. Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc A. Kẻ đường thẳng song song với AB qua D, cắt AC tại E. Khi đó, ta có:

∠ADE = ∠BAD (so le trong)
∠AED = ∠CAD (so le trong)

Vì ∠BAD = ∠CAD (do AD là đường phân giác) nên ∠ADE = ∠AED. Suy ra tam giác ADE cân tại A, do đó AD = AE.

Xét tam giác CDE, ta có AD // AB, do đó theo định lý Thales, ta có:

CD/BD = CE/AB

Mà CE = AC - AE = AC - AD, nên:

CD/BD = (AC - AD)/AB

Từ đó, ta có thể suy ra BD/CD = AB/AC.

4. Ứng dụng của tính chất đường phân giác

Tính chất đường phân giác có nhiều ứng dụng trong giải toán, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến tỉ lệ thức và tam giác đồng dạng. Một số ứng dụng phổ biến bao gồm:

Tính độ dài các đoạn thẳng: Sử dụng tính chất đường phân giác để tính độ dài các đoạn thẳng trên cạnh đối diện khi biết độ dài các cạnh kề góc đó.
Chứng minh các đẳng thức: Sử dụng tính chất đường phân giác để chứng minh các đẳng thức liên quan đến tỉ lệ thức và độ dài các đoạn thẳng.
Giải các bài toán thực tế: Áp dụng tính chất đường phân giác để giải các bài toán thực tế liên quan đến hình học.

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 12cm. Gọi AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC). Tính độ dài BD và CD.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

BD/CD = AB/AC = 6/9 = 2/3

Mà BD + CD = BC = 12cm, nên ta có hệ phương trình:

BD/CD = 2/3

BD + CD = 12

Giải hệ phương trình này, ta được BD = 8cm và CD = 4cm.

Bài 2: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD chia cạnh BC thành hai đoạn BD và CD tỉ lệ với 3 và 5. Biết AB = 12cm. Tính độ dài AC.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

BD/CD = AB/AC

Mà BD/CD = 3/5 và AB = 12cm, nên:

3/5 = 12/AC

Suy ra AC = (12 * 5)/3 = 20cm.

6. Kết luận

Bài học về tính chất đường phân giác của tam giác là một kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 8. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và tự tin hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán nhé!