Bài 3. Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

1. Giới thiệu chung về quy hoạch tuyến tính

Quy hoạch tuyến tính (QHT) là một lĩnh vực của toán học tối ưu hóa, nghiên cứu các bài toán tối ưu hóa trong đó hàm mục tiêu và các ràng buộc đều là tuyến tính. Các bài toán QHT thường xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, quản lý, kỹ thuật,...

Một bài toán QHT thường bao gồm:

• Hàm mục tiêu: Hàm số cần tối ưu (tối đa hoặc tối thiểu).
• Các ràng buộc: Các điều kiện mà các biến phải thỏa mãn.
• Biến quyết định: Các biến số cần tìm giá trị để tối ưu hóa hàm mục tiêu.

2. Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết bài toán QHT

Trong nhiều bài toán QHT, các ràng buộc có thể được biểu diễn dưới dạng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ:

Bài toán: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm A cần 2 kg nguyên liệu và 1 giờ công. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm B cần 1 kg nguyên liệu và 2 giờ công. Xí nghiệp có 400 kg nguyên liệu và 300 giờ công. Hỏi xí nghiệp nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm A và B để có lợi nhuận cao nhất, biết rằng lợi nhuận của mỗi đơn vị sản phẩm A là 30 nghìn đồng và của mỗi đơn vị sản phẩm B là 40 nghìn đồng?

Giải:

Gọi x là số sản phẩm A cần sản xuất và y là số sản phẩm B cần sản xuất.

Hàm mục tiêu: Max P = 30x + 40y (lợi nhuận)

Các ràng buộc:

• 2x + y ≤ 400 (nguyên liệu)
• x + 2y ≤ 300 (công)
• x ≥ 0, y ≥ 0 (số sản phẩm không âm)

3. Phương pháp giải bài toán QHT bằng đồ thị

Để giải bài toán QHT bằng đồ thị, ta thực hiện các bước sau:

1. Vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình.
2. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình.
3. Tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm.
4. Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh của miền nghiệm.
5. Chọn đỉnh mà tại đó hàm mục tiêu đạt giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất).

Trong bài toán trên, ta vẽ các đường thẳng 2x + y = 400 và x + 2y = 300. Miền nghiệm là miền tứ giác có các đỉnh là (0, 0), (200, 0), (0, 150) và (100, 200).

Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh:

Vậy, xí nghiệp nên sản xuất 100 sản phẩm A và 200 sản phẩm B để có lợi nhuận cao nhất là 11000 nghìn đồng.

4. Các dạng bài tập thường gặp

Các bài tập về vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết bài toán QHT thường gặp các dạng sau:

• Bài toán về sản xuất.
• Bài toán về vận tải.
• Bài toán về dinh dưỡng.
• Bài toán về đầu tư.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức và kỹ năng về vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết bài toán QHT, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng với nhiều mức độ khó khác nhau để các em có thể rèn luyện và nâng cao khả năng của mình.

Chúc các em học tập tốt!