Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Bài 35 trong Vở thực hành Toán 7 Tập 2, Chương IX tập trung vào một trong những nội dung quan trọng nhất của hình học tam giác: sự đồng quy của các đường trung trực và đường cao. Việc hiểu rõ các tính chất này không chỉ giúp giải quyết các bài toán cụ thể mà còn là nền tảng cho việc học các kiến thức hình học nâng cao hơn.

I. Đường Trung Trực của Một Đoạn Thẳng

Trước khi đi sâu vào sự đồng quy, chúng ta cần ôn lại khái niệm về đường trung trực. Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Một tính chất quan trọng là mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

II. Ba Đường Trung Trực Đồng Quy

Một tam giác có ba cạnh, và mỗi cạnh có một đường trung trực. Định lý quan trọng nhất của bài học này khẳng định rằng: Ba đường trung trực của ba cạnh của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Chứng minh:

1. Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực của AB và AC.
2. Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB.
3. Vì O nằm trên đường trung trực của AC nên OA = OC.
4. Từ OA = OB và OA = OC suy ra OB = OC.
5. Do đó, O nằm trên đường trung trực của BC.
6. Vậy, ba đường trung trực của tam giác ABC đồng quy tại O.

III. Đường Cao của Một Tam Giác

Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh xuống cạnh đối diện (hoặc đường thẳng kéo dài của cạnh đối diện). Mỗi tam giác có ba đường cao, tương ứng với ba đỉnh của nó.

IV. Ba Đường Cao Đồng Quy

Tương tự như đường trung trực, ba đường cao của một tam giác cũng đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này được gọi là trực tâm của tam giác.

Chứng minh:

1. Gọi H là giao điểm của hai đường cao AD và BE.
2. Xét tam giác ABD và tam giác ABE, ta có:
3. ∠ADB = ∠AEB = 90°
4. ∠BAD = 90° - ∠ABD
5. ∠BAE = 90° - ∠ABE
6. Vì ∠ABD = ∠ABE nên ∠BAD = ∠BAE.
7. Do đó, H nằm trên đường cao CF.
8. Vậy, ba đường cao của tam giác ABC đồng quy tại H.

V. Bài Tập Vận Dụng

Để củng cố kiến thức, chúng ta hãy xem xét một số bài tập ví dụ:

Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy.

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng HA = 2RcosA, HB = 2RcosB, HC = 2RcosC (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

VI. Kết Luận

Bài 35 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản và quan trọng về sự đồng quy của ba đường trung trực và ba đường cao trong một tam giác. Việc nắm vững các định lý và tính chất này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.

Montoan.com.vn hy vọng rằng bài học này sẽ giúp các em học tập tốt môn Toán 7. Chúc các em thành công!