Bài 4. Phương trình mũ, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài 4. Phương trình mũ, bất phương trình mũ và lôgarit - Giải Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Bài 4 trong chương trình Toán 11 tập 2, sách Cánh diều, đi sâu vào việc giải quyết các phương trình và bất phương trình liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit. Đây là một phần quan trọng, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit và các quy tắc biến đổi tương ứng.

I. Phương trình mũ

Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Để giải phương trình mũ, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Đưa về cùng cơ số: Nếu phương trình có dạng a^f(x) = a^g(x), thì f(x) = g(x).
Lấy lôgarit hai vế: Nếu phương trình có dạng a^f(x) = b, thì f(x) = log_ab.
Đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, việc đặt ẩn phụ có thể giúp đơn giản hóa phương trình.

Ví dụ 1: Giải phương trình 2^x+1 = 8.

Ta có 2^x+1 = 2³, suy ra x+1 = 3, do đó x = 2.

II. Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Khi giải bất phương trình mũ, cần chú ý đến cơ số của hàm số mũ:

Nếu a > 1, thì bất phương trình a^f(x) > a^g(x) tương đương với f(x) > g(x).
Nếu 0 < a < 1, thì bất phương trình a^f(x) > a^g(x) tương đương với f(x) < g(x).

Ví dụ 2: Giải bất phương trình (1/2)^x > 1/8.

Ta có (1/2)^x > (1/2)³, suy ra x < 3.

III. Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit. Để giải phương trình lôgarit, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Đưa về cùng cơ số: Nếu phương trình có dạng log_af(x) = log_ag(x), thì f(x) = g(x).
Sử dụng định nghĩa lôgarit: Nếu phương trình có dạng log_af(x) = b, thì f(x) = a^b.
Đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, việc đặt ẩn phụ có thể giúp đơn giản hóa phương trình.

Ví dụ 3: Giải phương trình log₂(x+1) = 3.

Ta có x+1 = 2³ = 8, suy ra x = 7.

IV. Bất phương trình lôgarit

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit. Khi giải bất phương trình lôgarit, cần chú ý đến cơ số của hàm số lôgarit:

Nếu a > 1, thì bất phương trình log_af(x) > log_ag(x) tương đương với f(x) > g(x).
Nếu 0 < a < 1, thì bất phương trình log_af(x) > log_ag(x) tương đương với f(x) < g(x).

Ví dụ 4: Giải bất phương trình log₃(x-2) < 2.

Ta có x-2 < 3² = 9, suy ra x < 11. Đồng thời, điều kiện xác định của lôgarit là x-2 > 0, tức là x > 2. Vậy nghiệm của bất phương trình là 2 < x < 11.