Bài 5. Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn

Trong chương trình Toán 7, việc làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn là một bước quan trọng để hiểu sâu hơn về tập hợp số thực. Bài học này sẽ đi sâu vào khám phá các khái niệm và tính chất liên quan đến loại số này.

1. Số thập phân vô hạn tuần hoàn là gì?

Một số thập phân vô hạn tuần hoàn là một số thập phân mà phần thập phân của nó lặp đi lặp lại một hoặc nhiều chữ số theo một quy luật nhất định. Phần lặp đi lặp lại này được gọi là chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ:

• 0,333... (chu kỳ là 3)
• 1,2(34) (chu kỳ là 34)
• 5,123123... (chu kỳ là 123)

2. Cách nhận biết số thập phân vô hạn tuần hoàn

Để nhận biết một số thập phân vô hạn tuần hoàn, ta cần quan sát phần thập phân của nó. Nếu phần thập phân lặp đi lặp lại một hoặc nhiều chữ số theo một quy luật nhất định, thì đó là một số thập phân vô hạn tuần hoàn.

3. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn bằng phân số

Mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều có thể biểu diễn được dưới dạng một phân số. Có hai trường hợp chính:

• Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn: Số thập phân có chu kỳ bắt đầu ngay sau dấu phẩy. Ví dụ: 0,333... = 1/3
• Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp: Số thập phân có một phần không lặp lại trước khi bắt đầu chu kỳ. Ví dụ: 1,2(34) = 1 + 2/10 + 34/990 = 121/990

Công thức tổng quát:

Nếu x = a, (b₁b₂...b_n) thì x = a + (b₁b₂...b_n) / 99...9 (với n chữ số 9)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Biến đổi số thập phân 0,555... thành phân số.

Giải:

Gọi x = 0,555...

10x = 5,555...

10x - x = 5,555... - 0,555...

9x = 5

x = 5/9

Ví dụ 2: Biến đổi số thập phân 2,1(3) thành phân số.

Giải:

Gọi x = 2,1(3)

10x = 21,(3)

100x = 213,(3)

100x - 10x = 213,(3) - 21,(3)

90x = 192

x = 192/90 = 32/15

5. Bài tập thực hành

1. Biến đổi các số thập phân sau thành phân số: 0,777..., 1,2(45), 3,123123...
2. Tìm chu kỳ của các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau: 0,111..., 2,3(4), 5,676767...
3. Giải thích tại sao một số thập phân hữu hạn có thể được biểu diễn dưới dạng một số thập phân vô hạn tuần hoàn.

6. Kết luận

Bài học hôm nay đã giúp các em làm quen với khái niệm số thập phân vô hạn tuần hoàn, cách nhận biết và biểu diễn chúng dưới dạng phân số. Việc nắm vững kiến thức này sẽ là nền tảng quan trọng cho các bài học tiếp theo về số thực và các phép toán trên số thực.

Chúc các em học tập tốt!