Bài 5: Phép chiếu song song

Phép chiếu song song là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong hình học không gian, đặc biệt là khi nghiên cứu về quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép chiếu song song, dựa trên nội dung của SGK Toán 11 Nâng cao.

1. Định nghĩa phép chiếu song song

Phép chiếu song song lên một mặt phẳng (P) theo phương l là phép biến hình (f) biến mỗi điểm M trong không gian thành điểm M’ trên (P) sao cho đường thẳng MM’ song song với phương l.

Ký hiệu: f(M) = M’

Trong đó:

• (P) là mặt phẳng cần chiếu.
• l là phương chiếu.
• M là điểm cần chiếu.
• M’ là hình chiếu của M lên (P) theo phương l.

2. Tính chất của phép chiếu song song

Phép chiếu song song có những tính chất quan trọng sau:

• Bảo toàn tính thẳng hàng: Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ba điểm A’, B’, C’ cũng thẳng hàng.
• Bảo toàn tỷ số: Nếu A, B, C thẳng hàng thì tỷ số AB/BC = A’B’/B’C’.
• Biến đường thẳng song song thành đường thẳng song song: Nếu đường thẳng d song song với đường thẳng d’ thì hình chiếu của d lên (P) song song với hình chiếu của d’ lên (P).
• Biến mặt phẳng song song thành mặt phẳng song song: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song thì hình chiếu của (α) lên (P) song song với hình chiếu của (β) lên (P).

3. Ứng dụng của phép chiếu song song

Phép chiếu song song được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán về quan hệ song song trong không gian, đặc biệt là:

• Chứng minh sự song song giữa đường thẳng và mặt phẳng: Sử dụng tính chất bảo toàn tính song song của phép chiếu song song để chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng.
• Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Phép chiếu song song giúp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thông qua hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng.
• Giải các bài toán về hình chiếu: Tìm hình chiếu của một điểm, đường thẳng hoặc mặt phẳng lên một mặt phẳng cho trước.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng SC song song với mặt phẳng (ABD).

Giải:

1. Gọi I là trung điểm của AD. Vì ABCD là hình vuông nên BI vuông góc với AD.
2. Vì SH vuông góc với (ABCD) nên SH vuông góc với BI.
3. Do đó, BI vuông góc với (SBI). Suy ra BI vuông góc với SI.
4. Xét tam giác SCI, vì SI vuông góc với BI nên SC song song với (ABD).

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép chiếu song song, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

• Xác định hình chiếu của một điểm, đường thẳng hoặc mặt phẳng lên một mặt phẳng cho trước.
• Chứng minh sự song song giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

6. Kết luận

Bài 5: Phép chiếu song song là một phần quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11 nâng cao. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép chiếu song song sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ song song một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.