Bài 7. Phép đồng dạng

Phép đồng dạng là một phép biến hình bảo toàn tính chất của hình, nhưng có thể thay đổi kích thước của nó. Để hiểu rõ hơn về phép đồng dạng, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản sau:

1. Định nghĩa phép đồng dạng

Một phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng nếu nó bảo toàn tỷ lệ khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nói cách khác, nếu M' = f(M) và N' = f(N) thì M'N' / MN = k, với k là một hằng số dương gọi là tỷ số đồng dạng.

2. Tính chất của phép đồng dạng

• Phép đồng dạng bảo toàn ba điểm thẳng hàng.
• Phép đồng dạng bảo toàn góc.
• Phép đồng dạng biến đường tròn thành đường tròn.
• Phép đồng dạng biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.

3. Các loại phép đồng dạng

Có hai loại phép đồng dạng chính:

• Phép vị tự: Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M' sao cho M' = V_O(k)(M), trong đó O là tâm vị tự và k là tỷ số vị tự.
• Phép đồng dạng gồm một phép vị tự và một phép đối xứng: Phép này kết hợp cả phép vị tự và phép đối xứng qua một đường thẳng hoặc một điểm.

4. Ví dụ minh họa

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' là hai tam giác đồng dạng với tỷ số đồng dạng k = 2. Điều này có nghĩa là:

• A'B' = 2AB
• B'C' = 2BC
• C'A' = 2CA

Các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau: ∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C'.

5. Ứng dụng của phép đồng dạng

Phép đồng dạng có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Bản đồ: Việc tạo bản đồ đòi hỏi phải bảo toàn hình dạng và tỷ lệ của các đối tượng trên mặt đất.
• Kiến trúc: Các kiến trúc sư sử dụng phép đồng dạng để tạo ra các mô hình thu nhỏ của các công trình.
• Thiết kế đồ họa: Phép đồng dạng được sử dụng để thay đổi kích thước của các hình ảnh mà vẫn giữ nguyên tỷ lệ.

6. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về phép đồng dạng, hãy giải các bài tập sau:

1. Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 4cm, CA = 5cm. Hãy tìm các cạnh của tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC với tỷ số đồng dạng k = 1.5.
2. Chứng minh rằng hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau là hai tam giác đồng dạng.
3. Tìm tâm vị tự của hai đường tròn có bán kính khác nhau.

7. Kết luận

Bài học về phép đồng dạng đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về định nghĩa, tính chất, các loại phép đồng dạng và ứng dụng của nó. Hy vọng rằng, thông qua bài học này, bạn đã nắm vững kiến thức và có thể áp dụng nó vào giải quyết các bài toán thực tế.