Chương 4. Hệ thức lượng trong tam giác

Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác - Lý thuyết Toán 10

Chương 4 của chương trình Toán 10, Hệ thức lượng trong tam giác, là một phần quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Chương này không chỉ cung cấp kiến thức lý thuyết mà còn trang bị kỹ năng giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tam giác.

1. Các khái niệm cơ bản

Trước khi đi sâu vào các hệ thức lượng, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về tam giác:

• Tam giác nhọn: Tam giác có tất cả các góc đều nhỏ hơn 90 độ.
• Tam giác vuông: Tam giác có một góc bằng 90 độ.
• Tam giác tù: Tam giác có một góc lớn hơn 90 độ.
• Cạnh huyền: Cạnh đối diện với góc vuông trong tam giác vuông.
• Cạnh góc vuông: Hai cạnh kề với góc vuông trong tam giác vuông.

2. Định lý Cosin

Định lý Cosin là một công cụ mạnh mẽ để tính toán các cạnh và góc trong tam giác. Định lý phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

• a² = b² + c² - 2bc.cosA
• b² = a² + c² - 2ac.cosB
• c² = a² + b² - 2ab.cosC

Trong đó:

• a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác.
• A, B, C là các góc đối diện với các cạnh a, b, c.

3. Định lý Sin

Định lý Sin cũng là một công cụ quan trọng để giải tam giác. Định lý phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Trong đó:

• a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác.
• A, B, C là các góc đối diện với các cạnh a, b, c.
• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

4. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông, các hệ thức lượng được biểu diễn đơn giản hơn:

• a² = b² + c² (Định lý Pitago)
• b² = a.AH (Hệ thức lượng cạnh huyền và đường cao)
• c² = a.HC (Hệ thức lượng cạnh huyền và hình chiếu)
• bc = a.HB (Hệ thức lượng cạnh góc vuông và hình chiếu)
• 1/h² = 1/b² + 1/c² (Hệ thức lượng giữa đường cao và các cạnh góc vuông)

Trong đó:

• a là cạnh huyền.
• b, c là các cạnh góc vuông.
• h là đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền.
• HB, HC là hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền.

5. Diện tích tam giác

Có nhiều công thức để tính diện tích tam giác:

• S = (1/2)bh (b là đáy, h là chiều cao)
• S = (1/2)ab.sinC (a, b là hai cạnh, C là góc xen giữa)
• S = √s(s-a)(s-b)(s-c) (Công thức Heron, s là nửa chu vi)

6. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, góc BAC = 60^o. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:

Áp dụng định lý Cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosBAC

BC² = 5² + 7² - 2.5.7.cos60^o

BC² = 25 + 49 - 70.0.5 = 49

BC = √49 = 7cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài đường cao AH.

Giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AH = AB.AC/BC

BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm

AH = 3.4/5 = 2.4cm

7. Kết luận

Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác cung cấp những kiến thức nền tảng và công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác. Việc nắm vững các định lý và hệ thức lượng sẽ giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập và ứng dụng toán học vào thực tế.