THCS
THCS
Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng và các công thức quan trọng về quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt như 0°, 30°, 45°, 60° và 90°. Đây là một chủ đề quan trọng trong chương trình học toán lớp 10, 11 và là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các mối liên hệ giữa sin, cos, tan, cot của các góc này, giúp bạn giải quyết các bài toán lượng giác một cách nhanh chóng và chính xác.
Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc đặc biệt (bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém (pi ), hơn kém (frac{pi }{2}), …)
1. Lý thuyết
+ Hai góc đối nhau \(\alpha \) và \( - \alpha \)
\(\sin ( - \alpha ) = - \sin \alpha \); | \(\tan ( - \alpha ) = - \tan \alpha \) |
\(\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha \); | \(\cot ( - \alpha ) = - \cot \alpha \) |
+ Hai góc phụ nhau \(\alpha \) và \({90^ \circ } - \alpha \)
\(\sin \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \cos \alpha \); | \(\tan \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
\(\cos \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \sin \alpha \); | \(\cot \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
+ Hai góc bù nhau \(\alpha \) và \({180^ \circ } - \alpha \)
\(\sin \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = \sin \alpha \); | \(\tan \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \tan \alpha \) |
\(\cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \cos \alpha \); | \(\cot \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \cot \alpha \) |
+ Hai góc \(\alpha \) và \({90^ \circ } + \alpha \)
\(\sin \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = \cos \alpha \); | \(\tan \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \cot \alpha \) |
\(\cos \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \sin \alpha \); | \(\cot \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \tan \alpha \) |
+ Hai góc \(\alpha \) và \({180^ \circ } + \alpha \)
\(\sin \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = - \sin \alpha \); | \(\tan \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
\(\cos \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = - \cos \alpha \); | \(\cot \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
Chú ý: Với \(k \in \mathbb{Z}\), ta có:
\(\sin \left( {2k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \sin \alpha \); | \(\tan \left( {k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
\(\cos \left( {2k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cos \alpha \); | \(\cot \left( {k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, khi đó ta có
\(\sin A = \sin ({180^ \circ } - A) = \sin (B + C)\)
\(\sin \frac{A}{2} = \cos \left( {{{90}^ \circ } - \frac{A}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\)
Ví dụ 2. Tính các giá trị lượng giác \(\sin {570^ \circ },\cos ( - {1035^ \circ }),\tan ({1500^ \circ }).\)
\(\begin{array}{l}\sin {570^ \circ } = \sin ({360^ \circ } + {180^ \circ } + {30^ \circ }) = \sin ({180^ \circ } + {30^ \circ }) = - \sin {30^ \circ } = - \frac{1}{2}\\\cos ( - {1035^ \circ }) = \cos ( - {3.2.180^ \circ } + {45^ \circ }) = \cos ({45^ \circ }) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\tan ({1500^ \circ }) = \tan ({8.180^ \circ } + {60^ \circ }) = \tan ({60^ \circ }) = \sqrt 3 .\end{array}\)
Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lượng giác, việc nắm vững các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt là vô cùng quan trọng. Các góc đặc biệt thường gặp bao gồm 0°, 30°, 45°, 60° và 90°. Việc hiểu rõ các giá trị sin, cos, tan, cot của các góc này không chỉ giúp giải quyết các bài toán lượng giác cơ bản mà còn là nền tảng cho việc học các kiến thức nâng cao hơn.
| Góc (°) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| Sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| Cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| Tan | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | Không xác định |
| Cot | Không xác định | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
Ngoài việc nhớ các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, việc hiểu rõ các mối quan hệ giữa chúng cũng rất quan trọng. Một số mối quan hệ cơ bản bao gồm:
Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng 90°. Ví dụ, 30° và 60° là hai góc bù nhau. Các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau có mối quan hệ như sau:
Ví dụ, sin(60°) = cos(30°) = √3/2 và cos(60°) = sin(30°) = 1/2.
Hai góc đối nhau là hai góc có tổng bằng 180°. Ví dụ, 30° và 150° là hai góc đối nhau. Các giá trị lượng giác của hai góc đối nhau có mối quan hệ như sau:
Ví dụ, sin(150°) = sin(30°) = 1/2 và cos(150°) = -cos(30°) = -√3/2.
Các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức A = sin30° + cos60° - tan45°
Giải: A = 1/2 + 1/2 - 1 = 0
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết góc B = 30°. Tính tỉ số lượng giác của góc C.
Giải: Vì tam giác ABC vuông tại A và góc B = 30°, nên góc C = 90° - 30° = 60°. Do đó:
Việc nắm vững các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt và các mối quan hệ giữa chúng là một kỹ năng quan trọng trong toán học. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán lượng giác.
