Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn miền nghiệm

Nghiệm của Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn và Biểu Diễn Miền Nghiệm

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một công cụ quan trọng trong toán học, đặc biệt trong các lĩnh vực như tối ưu hóa tuyến tính và hình học giải tích. Hiểu rõ về nghiệm và cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn.

1. Định nghĩa và Dạng Tổng Quát

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát:

ax + by < c (hoặc ax + by ≤ c, ax + by > c, ax + by ≥ c)

Trong đó:

• x và y là hai ẩn số.
• a và b là các hệ số thực, không đồng thời bằng 0.
• c là một hằng số thực.

Nghiệm của bất phương trình là các cặp số (x₀, y₀) thỏa mãn bất phương trình khi thay x = x₀ và y = y₀ vào.

2. Biểu Diễn Miền Nghiệm trên Mặt Phẳng Tọa Độ

Miền nghiệm của bất phương trình là tập hợp tất cả các điểm (x, y) trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn bất phương trình.

Để biểu diễn miền nghiệm, ta thực hiện các bước sau:

1. Vẽ đường thẳng d: ax + by = c.
2. Xét điểm M(x₀, y₀) không thuộc d. Thay tọa độ M vào bất phương trình để xác định phần mặt phẳng chứa nghiệm.
3. Vẽ miền nghiệm.

Lưu ý:

• Nếu bất phương trình là ax + by < c hoặc ax + by > c, đường thẳng d là đường nét đứt (không bao gồm các điểm nằm trên đường thẳng).
• Nếu bất phương trình là ax + by ≤ c hoặc ax + by ≥ c, đường thẳng d là đường nét liền (bao gồm các điểm nằm trên đường thẳng).

3. Các Trường Hợp Đặc Biệt

a. Bất phương trình x < a (hoặc x > a, x ≤ a, x ≥ a):

Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên trái (hoặc bên phải, dưới, trên) đường thẳng x = a.

b. Bất phương trình y < a (hoặc y > a, y ≤ a, y ≥ a):

Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên dưới (hoặc bên trên, dưới, trên) đường thẳng y = a.

4. Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của hệ là các cặp số (x, y) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Miền nghiệm của hệ là giao của các miền nghiệm của từng bất phương trình.

5. Ví dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x + y ≤ 4

Giải:

1. Vẽ đường thẳng d: 2x + y = 4.
2. Chọn điểm M(0, 0) không thuộc d. Thay vào bất phương trình: 2(0) + 0 ≤ 4 (đúng).
3. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm M (bao gồm cả đường thẳng d).

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của hệ bất phương trình:

x + y ≤ 3

x ≥ 0

y ≥ 0

Giải:

Miền nghiệm là tam giác OAB với A(3, 0), B(0, 3) và O(0, 0).

6. Ứng Dụng của Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Lập kế hoạch sản xuất: Xác định số lượng sản phẩm cần sản xuất để tối đa hóa lợi nhuận với các ràng buộc về nguồn lực.
• Quản lý kho hàng: Xác định lượng hàng tồn kho tối ưu để đáp ứng nhu cầu của khách hàng.
• Giải bài toán dinh dưỡng: Xác định chế độ ăn uống hợp lý để đảm bảo cung cấp đủ các chất dinh dưỡng cần thiết.

Việc nắm vững kiến thức về nghiệm và biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là rất quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế và phát triển tư duy logic, phân tích.