THCS
THCS
Bài viết này cung cấp kiến thức nền tảng và phương pháp giải chi tiết về nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách xác định miền nghiệm và ứng dụng của nó trong giải quyết các bài toán thực tế.
montoan.com.vn mang đến cho bạn những bài giảng dễ hiểu, bài tập đa dạng để nắm vững kiến thức này.
Cặp số \(({x_0};{y_0})\) được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nếu nó là nghiệm chung của tất cả các bất phương trình trong hệ. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp các điểm \(({x_0};{y_0})\) là nghiệm của hệ bất phương trình đó.
1. Lý thuyết
+ Định nghĩa:
Cặp số \(({x_0};{y_0})\) được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nếu nó là nghiệm chung của tất cả các bất phương trình trong hệ.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp các điểm \(({x_0};{y_0})\) là nghiệm của hệ bất phương trình đó.
+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bước 1: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ trên cùng mặt phẳng tọa độ. Gạch bỏ miền không là nghiệm.
Bước 2: Phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
+ Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\)
Bước 1: Vẽ đường thẳng \(\Delta :ax + by = c\)
Bước 2: Lấy điểm \(A({x_0};{y_0})\) không thuộc \(\Delta \). Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) rồi so sánh với c.
Bước 3: Kết luận
Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(\Delta \)) chứa điểm \(A({x_0};{y_0})\).
Nếu \(a{x_0} + b{y_0} > c\) thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(\Delta \)) không chứa điểm \(A({x_0};{y_0})\).
2. Ví dụ minh họa
+ Nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
Cặp số \((7;0)\) là một nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y > 10}\\{x - y \le 7}\end{array}} \right.\)
Cặp số \((0;0)\) không là nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y > 10}\\{x - y \le 7}\end{array}} \right.\)
Điểm \((2;1)\) thuộc miền nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\2x - 3y < 10\end{array}\\{x + 2y \le 7}\end{array}} \right.\)
Điểm \(( - 1;0)\) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\2x - 3y < 10\end{array}\\{x + 2y \le 7}\end{array}} \right.\)
+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 2\\3x + y \le 6\end{array} \right.\)
Bước 1:
Vẽ đường thẳng \(\Delta :2x - y = 2\) (nét đứt) đi qua (1;0) và (0; -2).
Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(\Delta \). Ta có \(2.0 - 0 = 0\) và \(c = 2\).
Vì \(2.0 - 0 = 0 < 2\) nên điểm \(O(0;0)\) không thuộc miền nghiệm.
Vậy miền nghiệm của BPT \(2x - y > 2\) là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta \)) không chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).
Vẽ đường thẳng \(d:3x + y = 6\) (nét liền) đi qua (2;0) và (0; 6).
Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(d\). Ta có \(3.0 + 0 = 0\) và \(c = 6\).
Vì \(3.0 + 0 = 0 \le 6\) nên điểm \(O(0;0)\) thuộc miền nghiệm.
Vậy miền nghiệm của BPT \(3x + y \le 6\) là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(d\)) chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).
Bước 2: Kết luận
Miền không bị gạch (kể cả d, không kể \(\Delta \)) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp các bất phương trình bậc nhất với hai biến số. Ví dụ:
Nghiệm của hệ bất phương trình là giá trị của các biến số (trong trường hợp này là x và y) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Nói cách khác, nếu bạn thay giá trị của x và y vào tất cả các bất phương trình và tất cả đều đúng, thì (x, y) là một nghiệm của hệ.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ. Để biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ, ta thực hiện các bước sau:
Xét hệ bất phương trình sau:
Bước 1: Vẽ các đường thẳng
Bước 2: Xác định nửa mặt phẳng
Bước 3: Xác định miền nghiệm của hệ
Miền nghiệm của hệ là phần giao của tất cả các nửa mặt phẳng đã xác định. Đây là một tứ giác có các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng.
Nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn miền nghiệm có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Để củng cố kiến thức, hãy thử giải các bài tập sau:
Việc nắm vững kiến thức về nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn miền nghiệm là rất quan trọng trong học toán và ứng dụng vào thực tế. montoan.com.vn hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan.
