THCS
THCS
Hàm số bậc hai là một trong những chủ đề cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở cấp THPT. Việc hiểu rõ sự biến thiên của hàm số bậc hai giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán thực tế và xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức nâng cao.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp các bài giảng chi tiết, bài tập đa dạng và phương pháp giải quyết bài toán hiệu quả về sự biến thiên của hàm số bậc hai, giúp bạn nắm vững kiến thức một cách dễ dàng.
(a > 0) Hàm số nghịch biến trên (( - infty ; - frac{b}{{2a}})), đồng biến trên (( - frac{b}{{2a}}; + infty ))
1. Lý thuyết
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\)
Trên khoảng \(( - \infty ; - \frac{b}{{2a}})\) | Trên khoảng \(( - \frac{b}{{2a}}; + \infty )\) | |
\(a > 0\) | Hàm số nghịch biến | Hàm số đồng biến |
\(a < 0\) | Hàm số đồng biến | Hàm số nghịch biến |
+ Bảng biến thiên
+ Chú ý
Từ bảng biến thiên, ta thấy
Khi \(a > 0\), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\) tại \(x = - \frac{b}{{2a}}\) và hàm số có tập giá trị là \([ - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}; + \infty )\)
Khi \(a < 0\), hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\) tại \(x = - \frac{b}{{2a}}\) và hàm số có tập giá trị là \(( - \infty ; - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}]\)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1.Xét sự biến thiên của hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\)
Hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\) có \(a = 1,b = 2,c = 2\)
\( \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.1}} = - 1;y( - 1) = {( - 1)^2} + 2.( - 1) + 2 = 1\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên \(( - 1; + \infty )\), nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\)
Ví dụ 2.Lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = - {x^2} + 2x\)
Hàm số \(y = - {x^2} + 2x\) có \(a = - 1,b = 2,c = 0\)
\( \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1;y(1) = - {1^2} + 2.1 = 1\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;1)\), nghịch biến trên \((1; + \infty )\)
Hàm số bậc hai có dạng tổng quát: y = ax² + bx + c, với a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Sự biến thiên của hàm số này được quyết định bởi các yếu tố như hệ số a, tọa độ đỉnh parabol, trục đối xứng và các khoảng đồng biến, nghịch biến.
Hệ số a đóng vai trò quan trọng trong việc xác định chiều lồi hoặc lõm của parabol:
Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất (khi a > 0) hoặc cao nhất (khi a < 0) của đồ thị hàm số. Tọa độ đỉnh (x₀, y₀) được tính như sau:
Đỉnh parabol đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính chất của hàm số và giải các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Trục đối xứng của parabol là đường thẳng có phương trình x = -b / 2a. Đường thẳng này đi qua đỉnh của parabol và chia parabol thành hai phần đối xứng nhau.
Dựa vào hệ số a và tọa độ đỉnh, ta có thể xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:
Ví dụ 1: Xét hàm số y = 2x² - 8x + 5. Tìm tọa độ đỉnh và trục đối xứng của parabol.
Giải:
Ví dụ 2: Xét hàm số y = -x² + 4x - 1. Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Giải:
Kiến thức về sự biến thiên của hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:
Để nắm vững kiến thức về sự biến thiên của hàm số bậc hai, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập phong phú, đa dạng với các mức độ khó khác nhau, giúp bạn củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
Sự biến thiên của hàm số bậc hai là một chủ đề quan trọng và có nhiều ứng dụng trong toán học và thực tế. Việc hiểu rõ các yếu tố ảnh hưởng đến sự biến thiên của hàm số, như hệ số a, tọa độ đỉnh, trục đối xứng và các khoảng đồng biến, nghịch biến, sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin.
