Tính chẵn lẻ của hàm số

Trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở bậc THPT, Tính chẵn lẻ của hàm số là một khái niệm quan trọng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính đối xứng của đồ thị hàm số. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải bài tập liên quan đến chủ đề này là nền tảng vững chắc cho việc học tập các kiến thức nâng cao hơn.

Montoan.com.vn cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, bài giảng chi tiết và bài tập đa dạng về Tính chẵn lẻ của hàm số, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán.

Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu (forall x in D) thì ( - x in D) và (f( - x) = f(x)) Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu (forall x in D) thì ( - x in D) và (f( - x) = - f(x))

1. Lý thuyết

+ Định nghĩa:

Cho hàm số \(y = f(x)\) có tập xác định D.

Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = f(x)\)

Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = - f(x)\)

+ Nhận xét:

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

+ Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = f(x)\)

Bước 2: Chứng minh D là tập đối xứng, tức là \(\forall x \in D\) suy ra \( - x \in D\)

Bước 3: Tính \(f( - x)\)

Nếu \(f( - x) = f(x)\) với mọi \(x \in D\) thì \(y = f(x)\) là hàm số chẵn
Nếu \(f( - x) = - f(x)\) với mọi \(x \in D\) thì \(y = f(x)\) là hàm số lẻ
Nếu có \({x_0} \in D\) sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}f( - x) \ne f(x)\\f( - x) \ne - f(x)\end{array} \right.\) thì hàm số \(y = f(x)\) không chẵn, không lẻ.

2. Ví dụ minh họa

Hàm số chẵn

\(y = 2\); \(y = a{x^2}\) (với a là hằng số cho trước)

Hàm số lẻ

\(y = {x^3}\); \(y = \frac{1}{x}\)

Hàm số không chẵn, không lẻ

\(y = x + 1\); \(y = 2{x^2} - 5x + 3\)

Đặc biệt: Hàm số \(y = 0\) là hàm vừa chẵn vừa lẻ.

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số

a) \(y = 2022x\)

b) \(y = 3{x^2} + 5\)

c) \(y = \sqrt {1 - x} \)

d) \(y = \;|x - 2|\)

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(f(x) = 2022x\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\(\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( - x \in \mathbb{R}\)

Ta có: \(f( - x) = 2022.( - x) = - 2022x = - f(x)\;\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = 2022x\) là hàm số lẻ.

b) Hàm số \(f(x) = 3{x^2} + 5\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\(\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( - x \in \mathbb{R}\)

Ta có: \(f( - x) = 3{( - x)^2} + 5 = 3{x^2} + 5 = f(x)\;\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = 3{x^2} + 5\) là hàm số chẵn.

c) Hàm số \(y = \sqrt {1 - x} \) có tập xác định \(D = ( - \infty ;1]\).

Với \(x = - 2 \in D\) thì \( - x = 2 \notin D\)

\( \Rightarrow \) D không là tập đối xứng.

Vậy hàm số không chẵn, không lẻ

d) Hàm số \(y = \;|x - 2|\)có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\(\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( - x \in \mathbb{R}\)

Tại \(x = 1 \in D\) ta có: \(f( - 1) = | - 1 - 2| = 3;f(1) = |1 - 2| = 1; - f(1) = - 1\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f( - 1) \ne f(1)\\f( - 1) \ne - f(1)\end{array} \right.\)

Vậy hàm số \(y = \;|x - 2|\) không chẵn, không lẻ.

Bạn đang khám phá nội dung Tính chẵn lẻ của hàm số trong chuyên mục toán lớp 10 trên nền tảng soạn toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 10 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các cấp học cao hơn.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số: Hướng Dẫn Chi Tiết

Trong toán học, tính chẵn lẻ của hàm số là một khái niệm quan trọng để xác định tính đối xứng của đồ thị hàm số. Hiểu rõ về tính chẵn lẻ không chỉ giúp giải quyết các bài toán cụ thể mà còn cung cấp cái nhìn sâu sắc hơn về bản chất của hàm số.

1. Định Nghĩa Hàm Số Chẵn và Hàm Số Lẻ

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng đối xứng (-a, a).

Hàm số chẵn:f(-x) = f(x) với mọi x thuộc khoảng (-a, a). Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung (trục Oy).
Hàm số lẻ:f(-x) = -f(x) với mọi x thuộc khoảng (-a, a). Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O.

2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Hàm số chẵn

f(x) = x²

f(-x) = (-x)² = x² = f(x). Vậy hàm số f(x) = x² là hàm số chẵn.

Ví dụ 2: Hàm số lẻ

f(x) = x³

f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x). Vậy hàm số f(x) = x³ là hàm số lẻ.

Ví dụ 3: Hàm số không chẵn, không lẻ

f(x) = x² + x

f(-x) = (-x)² + (-x) = x² - x. Ta thấy f(-x) ≠ f(x) và f(-x) ≠ -f(x). Vậy hàm số f(x) = x² + x không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.

3. Cách Xác Định Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số

Cách 1: Sử dụng định nghĩa. Tính f(-x) và so sánh với f(x) và -f(x).
Cách 2: Kiểm tra tính đối xứng của đồ thị hàm số. Nếu đồ thị đối xứng qua trục tung thì hàm số chẵn. Nếu đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ thì hàm số lẻ.

4. Bài Tập Vận Dụng

Bài tập 1: Xét tính chẵn lẻ của hàm số f(x) = |x|.

Giải:

f(-x) = |-x| = |x| = f(x). Vậy hàm số f(x) = |x| là hàm số chẵn.

Bài tập 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số f(x) = x + 1.

Giải:

f(-x) = -x + 1. Ta thấy f(-x) ≠ f(x) và f(-x) ≠ -f(x). Vậy hàm số f(x) = x + 1 không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.

5. Ứng Dụng Của Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số

Tính chẵn lẻ của hàm số có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Đơn giản hóa tính toán: Khi tính tích phân của hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ trên khoảng đối xứng, ta có thể tận dụng tính chất đối xứng để đơn giản hóa phép tính.
Phân tích đồ thị hàm số: Tính chẵn lẻ giúp xác định hình dạng và tính chất của đồ thị hàm số.
Giải quyết các bài toán vật lý: Trong vật lý, tính chẵn lẻ thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến đối xứng.

6. Lưu Ý Quan Trọng

Không phải hàm số nào cũng chẵn hoặc lẻ. Một số hàm số không có tính chẵn lẻ. Khi xét tính chẵn lẻ của hàm số, cần xác định rõ tập xác định của hàm số. Nếu hàm số không xác định trên một khoảng đối xứng, thì không thể xét tính chẵn lẻ của hàm số đó.

Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã nắm vững kiến thức về Tính chẵn lẻ của hàm số. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán!