THCS
THCS
Sự biến thiên của hàm số là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình giải tích, đặc biệt là Toán 12.
Hiểu rõ về sự biến thiên của hàm số giúp học sinh phân tích được tính chất của hàm số, tìm ra các điểm cực trị, và vẽ được đồ thị hàm số một cách chính xác.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp các bài giảng chi tiết, bài tập đa dạng và phương pháp giải bài tập hiệu quả để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\) Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)
1. Lý thuyết
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a;b).
+ Định nghĩa:
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu
\(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)
Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu
\(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)
Xét sự biến thiên của hàm số là tìm các khoảng hàm số đồng biến và các khoảng hàm số nghịch biến.
+ Mô tả sự biến thiên bằng bảng biến thiên
Kết quả xét sự biến thiên được tổng kết trong mộtbảng biến thiên. Trong đó:
Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng tương ứng.
Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng tương ứng.
+ Mô tả sự biến thiên bằng đồ thị
Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “đi lên” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.
Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “đi xuống” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.
+ Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a > 0\), nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a < 0\).
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1.Chứng minh hàm số \(y = 2{x^2}\)đồng biến trên khoảng\((0; + \infty )\)
Xét hai số bất kì \({x_1},{x_2} \in (0; + \infty )\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).
Ta có: \(0 < {x_1} < {x_2}\) nên \(2{x_1}^2 < 2{x_2}^2\) hay \(f({x_1}) < f({x_2})\)
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)
Ví dụ 2.Cho bảng biến thiên của hàm số \(y = 2{x^2} + 1\)
Ví dụ 3.Cho đồ thị của hàm số \(y = f(x)\)
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng (2;5)
Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng (-4;2)
Sự biến thiên của hàm số là một khái niệm quan trọng trong giải tích, mô tả cách hàm số thay đổi giá trị khi biến độc lập thay đổi. Việc nghiên cứu sự biến thiên của hàm số giúp ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số, từ đó có thể dự đoán được hành vi của nó và ứng dụng vào các bài toán thực tế.
Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Ta thực hiện các bước sau:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Sự biến thiên của hàm số là một công cụ mạnh mẽ trong giải tích, giúp ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số và ứng dụng vào các bài toán thực tế. Hy vọng rằng, với những kiến thức và phương pháp được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ nắm vững chủ đề này và đạt được kết quả tốt trong học tập.
