THCS
THCS
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F=ax+by trên một miền đa giác là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học, thường xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia và các bài kiểm tra đánh giá năng lực.
Montoan.com.vn cung cấp phương pháp giải chi tiết, dễ hiểu cùng với các ví dụ minh họa giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
Bước 1: Đặt ẩn (hai ẩn x, y), từ giả thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Bước 2: Xác định miền đa giác nghiệm và tọa độ đỉnh của đa giác đó. Bước 3: Tính gía trị cuả F tại các đỉnh của đa giác. So sánh các giá trị thu được. Bước 4: Kết luận.
1. Lý thuyết
Nhiều bài toán thực tế được đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức \(F = ax + by\) trên một miền đa giác – miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Người ta chứng minh được F đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác.
+ Các bước giải
Bước 1: Đặt ẩn (hai ẩn x, y), từ giả thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 2: Xác định miền đa giác nghiệm và tọa độ đỉnh của đa giác đó.
Bước 3: Tính gía trị cuả F tại các đỉnh của đa giác. So sánh các giá trị thu được.
Bước 4: Kết luận.
2. Ví dụ minh họa
Nhà cô Minh có mảnh vườn rộng \(8{m^2}\). Cô dự định trồng cà chua và cải bắp trên toàn bộ mảnh vườn đó. Nếu trồng cà chua thì cần 20 công và thu được 300 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Nếu trồng cải bắp thì cần 30 công và thu được 400 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Hỏi cần cần trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để tthu được nhiều tiền nhất mà tổng số công không quá 180?
Lời giải chi tiết
Gọi diện tích trồng cà chua và cải bắp lần lượt là x, y (đơn vị: \({m^2}\)). \((x,y \ge 0)\)
Mảnh vườn rộng \(8{m^2}\) nên ta có: \(x + y \le 8\)
Khi trồng x \({m^2}\) cà chua thì cần \(20x\) công và thu được \(300x\) nghìn đồng
Khi trồng y \({m^2}\) cải bắp thì cần \(30x\) công và thu được \(400x\) nghìn đồng
Tổng số công không quá 180 nên ta có: \(20x + 30y \le 180\) hay \(2x + 3y \le 18\)
Tổng số tiền thu được là: \(F(x;y) = 300x + 400y\)
Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 8\\0 \le y \le 8\\x + y \le 8\\2x + 3y \le 18\end{array} \right.\)
Biểu diễn miền nghiệm trên hệ trục Oxy, ta được:
Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD (kể cả các cạnh), trong đó \(A(0;6),B(6;2),C(8;0),O(0;0)\)
Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào biểu thức \(F(x;y) = 300x + 400y\) ta được:
\[\begin{array}{l}F(0;0) = 300.0 + 400.0 = 0\\F(0;6) = 300.0 + 400.6 = 2400\\F(2;6) = 300.2 + 400.6 = 3000\\F(8;0) = 300.8 + 400.0 = 2400\end{array}\]
Do đó F đạt giá trị lớn nhất bằng 3000 tại \(x = 2;y = 6\)
Vậy cô Minh cần mua trồng \(2{m^2}\) cà chua và \(6{m^2}\) cải bắp.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác là một bài toán kinh điển trong lĩnh vực tối ưu hóa. Bài toán này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, kỹ thuật, và khoa học.
Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững một số kiến thức cơ bản:
Phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của F = ax + by trên miền đa giác bao gồm các bước sau:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số F = 2x + y trên miền đa giác có các đỉnh A(0;0), B(2;0), C(2;1), D(0;1).
Giải:
Giá trị lớn nhất của F là 5, đạt được tại đỉnh C(2;1).
Giá trị nhỏ nhất của F là 0, đạt được tại đỉnh A(0;0).
Trường hợp 1: Miền đa giác không lồi. Trong trường hợp này, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể không đạt được tại các đỉnh. Cần xét thêm các điểm nằm trên biên của miền đa giác.
Trường hợp 2: Biểu thức F có dạng phức tạp hơn. Khi đó, có thể sử dụng các phương pháp tối ưu hóa khác như phương pháp nhân tử Lagrange.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể giải các bài tập sau:
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên miền đa giác là một bài toán quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế. Việc nắm vững phương pháp giải bài toán này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán tối ưu hóa một cách hiệu quả.
