đề chọn đội tuyển hsg qg môn toán năm 2022 trường chuyên hùng vương – bình dương

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2021 – 2022 của trường THPT chuyên Hùng Vương – Bình Dương là một đề thi thử nghiệm có cấu trúc và độ khó tương đối cao, được thiết kế trong khuôn khổ 02 trang với 07 bài toán tự luận, và được thực hiện trong vòng hai ngày.

Trích dẫn một số bài toán tiêu biểu từ đề chọn đội tuyển HSG QG môn Toán năm 2022 trường chuyên Hùng Vương – Bình Dương:

1. Bài toán 1 (Hình học): Cho tam giác ABC nhọn, không cân có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Lấy điểm X trên đường thẳng BH và điểm Y trên đường thẳng CH sao cho tứ giác MXHY là hình bình hành. Gọi R là giao điểm của các đường thẳng XY, EF.

   • a) Chứng minh rằng AR song song với BC.
   • b) Chứng minh rằng AH là trục đẳng phương của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHY và tam giác CHX.

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian đòi hỏi thí sinh có kiến thức vững chắc về đường cao, tính chất của hình bình hành, đường tròn ngoại tiếp và trục đẳng phương. Việc chứng minh AR song song với BC và AH là trục đẳng phương đòi hỏi sự kết hợp linh hoạt các định lý và kỹ năng biến đổi hình học.

2. Bài toán 2 (Tổ hợp): Thầy chủ nhiệm đội tuyển đăng ký cho n học sinh tham gia các buổi học chuyên đề của viện Toán với tổng cộng m buổi. Kết thúc khóa học, các học sinh sẽ chia sẻ bài cho nhau cùng học. Biết rằng mỗi buổi, thầy đăng ký cho đúng 3 học sinh và không có 2 bạn nào học chung 2 buổi trở lên.

   • a) Giả sử m = 7, tìm giá trị nhỏ nhất của n.
   • b) Giả sử n = 15 và khi đăng ký xong thì Ban tổ chức ra thông báo mới là tối đa 10 bạn được tham gia. Hỏi thầy có cách nào loại đi 5 học sinh nào đó (và giữ nguyên buổi đăng ký của các học sinh khác) mà đội tuyển vẫn có đầy đủ bài của tất cả các buổi học được hay không?

   Nhận xét: Bài toán này thuộc lĩnh vực tổ hợp, kiểm tra khả năng tư duy logic và giải quyết vấn đề của thí sinh. Phần a yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất, đòi hỏi thí sinh phải phân tích kỹ các ràng buộc của bài toán. Phần b là một bài toán thực tế, đòi hỏi thí sinh phải tìm ra một phương án tối ưu để loại bỏ học sinh mà vẫn đảm bảo đủ bài tập cho tất cả các buổi học.

3. Bài toán 3 (Số học): Chứng minh rằng không tồn tại dãy số thực (xn) thỏa mãn x1 = 2 và với mọi số nguyên dương n.

   Nhận xét: Bài toán này thuộc lĩnh vực số học, đòi hỏi thí sinh có kiến thức về dãy số, bất đẳng thức và kỹ năng chứng minh phản chứng.

Nhìn chung, đề thi thể hiện sự đa dạng về nội dung và mức độ khó, bao gồm các chủ đề quen thuộc như hình học, tổ hợp và số học. Đề thi đòi hỏi thí sinh không chỉ có kiến thức nền tảng vững chắc mà còn có khả năng phân tích, tổng hợp và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề phức tạp.