đề thi học sinh giỏi tỉnh toán 12 chuyên năm 2021 – 2022 sở gd&đt thừa thiên huế

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 chuyên năm học 2021 – 2022, Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế là một đề thi có cấu trúc chuẩn mực, bao gồm 05 bài toán tự luận, được trình bày trên 01 trang giấy, với thời gian làm bài 180 phút. Đề thi đánh giá toàn diện kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh chuyên Toán.

Dưới đây là trích dẫn nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài toán 1: Về tổng các chữ số của số nguyên tố.
   • Với p là số nguyên dương, đặt S(p) là tổng các chữ số của p. Chứng minh S(7) không chia hết cho 7.
   • Tìm tất cả các số nguyên tố p (p < 2022) sao cho S(p) không chia hết cho p.
   Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về tính chất chia hết, tổng các chữ số và khả năng vận dụng vào các số nguyên tố. Phần a có tính chất gợi ý, giúp học sinh làm quen với dạng bài và tìm hướng tiếp cận cho phần b.
2. Bài toán 2: Hình học phẳng và tính chất đường tròn.
   • Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh BC, CA, AB. Các điểm X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng MN, CI. Gọi L là điểm chính giữa của cung BC chứa điểm A của đường tròn (O).
   • a) Chứng minh các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.
   • b) Chứng minh BY, CY và Y nằm trên đường thẳng MP.
   • c) Chứng minh đường thẳng LI đi qua trung điểm của đoạn XY.
   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phức tạp, đòi hỏi học sinh có kiến thức vững chắc về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, các tính chất liên quan đến trung điểm, tiếp điểm và định lý Ceva, Menelaus. Việc vẽ hình chính xác và tìm ra các mối liên hệ giữa các điểm là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán.
3. Bài toán 3: Tổ hợp và bài toán đếm.
   • Một hình chữ nhật gồm hai ô vuông đơn vị kích thước 2×1 hoặc 1×2 được gọi là một domino. Một mô hình là một cách đặt các domino lên một bảng vuông nxn (n nguyên dương) ô vuông đơn vị sao cho mỗi domino phủ đúng 2 ô của bảng và không có một ô nào được phủ bởi 2 domino khác nhau (tức là các domino không xếp chồng lên nhau).
   • Ta gọi một domino là “liên quan” đến một hàng (hoặc một cột) nếu nó phủ ít nhất một ô của hàng (hoặc cột) đó. Gọi trị số của một hàng (hoặc một cột) là số các domino “liên quan” đến hàng (hoặc cột) đó. Một mô hình được gọi là cân bằng nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho mỗi hàng và mỗi cột của nó đều có trị số là k.
   • a) Chứng minh rằng tồn tại các mô hình cân bằng với n chẵn.
   • b) Tồn tại mô hình cân bằng với n = 2021 hay không? Nếu có, hãy tìm số domino ít nhất cần thiết để có thể thiết lập được mô hình cân bằng cho bảng đó.
   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về tổ hợp, bài toán đếm và tư duy logic. Phần a yêu cầu chứng minh sự tồn tại, trong khi phần b đòi hỏi học sinh phải phân tích kỹ lưỡng và đưa ra kết luận dựa trên các lập luận chặt chẽ.

Đánh giá chung: Đề thi có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh. Các bài toán được xây dựng công phu, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế và khả năng trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic.