đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán thpt năm 2024 – 2025 sở gd&đt bắc ninh

Montoan.com xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Ninh tổ chức, được diễn ra vào ngày 21 tháng 08 năm 2024.

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Các bài toán được xây dựng có tính chọn lọc cao, bao gồm các chủ đề quen thuộc nhưng được biến đổi một cách tinh tế, thách thức khả năng vận dụng kiến thức của học sinh vào thực tế.

Dưới đây là trích dẫn nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Gọi a là nghiệm dương của phương trình x² + x – 5 = 0. Với số nguyên dương n nào đó, gọi c₀, c₁, c₂, …, c_n là các số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức c₀ + c₁a + c₂a² + … + c_naⁿ = 2025.
   • a) Chứng minh rằng c₀ + c₁ + c₂ + … + c_n chia hết cho 3.
   • b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng T = c₀ + c₁ + c₂ + … + c_n.
2. Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, không cân. Gọi O, N lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn Ơle của tam giác ABC. Tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại A’. Gọi A₁ là trung điểm của OA’. Tương tự dựng B₁, C₁.
   • a) Chứng minh các đường thẳng AA₁, BB₁, CC₁ đồng quy tại điểm K là điểm liên hợp đẳng giác của N trong tam giác ABC.
   • b) Gọi A₂, B₂, C₂ lần lượt là giao điểm của AK, BK, CK với (O). Các điểm A₃, B₃, C₃ lần lượt là các điểm đối xứng của A₂, B₂, C₂ qua BC, CA, AB. Chứng minh các điểm O, H, A₃, B₃, C₃ cùng thuộc một đường tròn.
3. Bài 3: Cho n là số nguyên dương. Một hoán vị a₁, a₂, …, a_n của dãy 1, 2, …, n được gọi là tốt nếu thỏa mãn a₁ ≤ 2a₂ ≤ 3a₃ ≤ … ≤ nan.
   • a) Chứng minh nếu a₁, a₂, …, a_n là một hoán vị tốt thì hoặc a_n = n hoặc a_n – 1 = n và a_n = n – 1.
   • b) Tìm số các hoán vị tốt.

Nhận xét chung:

• Bài toán số học (Bài 1) đòi hỏi sự hiểu biết về tính chất chia hết và kỹ năng ước lượng.
• Bài toán hình học (Bài 2) có tính chất hình học cao, yêu cầu thí sinh nắm vững kiến thức về đường tròn ngoại tiếp, đường tròn Ơle và các phép biến hình.
• Bài toán tổ hợp (Bài 3) đòi hỏi khả năng phân tích và xây dựng các trường hợp để đếm số lượng hoán vị thỏa mãn điều kiện.

Montoan.com hy vọng bộ đề này sẽ là tài liệu hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT.