đề hsg toán cấp trường năm 2023 – 2024 trường chuyên nguyễn trãi – hải dương

Montoan.com trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp trường năm học 2023 – 2024 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 04 tháng 09 năm 2023, đề thi đi kèm với đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh có thể tự ôn luyện và đánh giá năng lực.

Đề thi HSG Toán cấp trường năm 2023 – 2024 trường chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương bao gồm các bài toán sau:

1. Bài 1: Hình học

   Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. H là hình chiếu của A trên BC. N là trung điểm của AH. Đường thẳng qua D, N cắt CA, AB lần lượt tại J, S; BJ cắt CS tại P. Các đường thẳng DA, DP lần lượt cắt (I) tại G, L. Gọi EF cắt BC tại X.

   • a) Chứng minh rằng A, P, X thẳng hàng.
   • b) Gọi K, T theo thứ tự là giao điểm thứ hai của DI, DN và (I). Chứng minh: K, T, X thẳng hàng.
   • c) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, G, L cùng nằm trên một đường tròn.
2. Bài 2: Đại số

   Cho số nguyên dương n và p là số nguyên tố lẻ. Giả sử n = qp + r với 0 ≤ r ≤ p − 1 và q nguyên dương. Đặt Sn = 1² + 2² + … + n².

   • a) Khi p = 3, chỉ ra một giá trị n nguyên dương lớn hơn 5 sao cho Sn chia hết cho p.
   • b) Chứng minh rằng nếu p là ước của Sn thì q là số lẻ.
3. Bài 3: Tổ hợp

   Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho có thể phân chia tập {1; 2; …; 3n} thành n tập con 3 phần tử rời nhau {a; b; c} sao cho b – a và c − b là các số khác nhau trong tập {n − 1; n; n + 1}.

Đánh giá và nhận xét:

Bộ đề thi này có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về các lĩnh vực Hình học, Đại số và Tổ hợp. Các bài toán được xây dựng một cách sáng tạo, có tính phân loại cao, phù hợp với mục tiêu tuyển chọn học sinh giỏi. Đặc biệt, bài toán hình học có nhiều điểm mới, đòi hỏi học sinh phải có tư duy không gian tốt và khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Bài toán đại số và tổ hợp cũng yêu cầu học sinh phải có kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng suy luận logic.

Ưu điểm:

• Đề thi có cấu trúc rõ ràng, bao gồm các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau.
• Các bài toán có độ khó phù hợp, có tính phân loại cao.
• Đề thi đi kèm với đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tự học và ôn luyện hiệu quả.