Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 3

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

So sánh hai căn bậc hai: Với hai số \(a,b\) không âm ta có \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b \).

Tách \(5 = 7 - 2 = \sqrt {49} - 2\).

Vì \(49 < 50 \) nên \( \sqrt {49} < \sqrt {50} \)

\( 7 < \sqrt {50} \)

\(7 - 2 < \sqrt {50} - 2 \)

\( 5 < \sqrt {50} - 2\).

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Phương trình \( - 3{x^2} + 5x + 1 = 0\) có \(\Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 37 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)

Theo định lí Vieftee, ta có \({x_1} + {x_2} = - \dfrac{5}{{ - 3}}= \dfrac{5}{3}\).

- Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\)

- Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\) và công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\)

- Cộng trừ các căn thức bậc hai.

\(3\sqrt {8a} + \dfrac{1}{4}\sqrt {\dfrac{{32a}}{{25}}} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {\dfrac{3}{{2a}}} - \sqrt {2a} \) \( = 3\sqrt {4.2a} + \dfrac{1}{4}\dfrac{{\sqrt {16.2a} }}{{\sqrt {25} }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {2a} }} - \sqrt {2a} \) \( = 3.2\sqrt {2a} + \dfrac{1}{4}.\dfrac{{4\sqrt {2a} }}{5} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt {2a} }}{{2a}} - \sqrt {2a} \) \( = 6\sqrt {2a} + \dfrac{1}{5}\sqrt {2a} - \dfrac{1}{2}\sqrt {2a} - \sqrt {2a} \)

\( = \sqrt {2a} .\left( {6 + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{2} - 1} \right) = \dfrac{{47}}{{10}}\sqrt {2a} \)

Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

\(\widehat {DIE} = \)$\dfrac{1}{2}$(sđ \(\overparen{DmE} + \) sđ \(\overparen{CnF}\) )

Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\)xác định với mọi giá trị của \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\)và có tính chất sau

- Đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a > 0\).

- Nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a < 0\).

Hàm số \(y = - \left( {\dfrac{x}{2} - 3} \right)\)\( \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{2}x + 3\) có \(a = - \dfrac{1}{2} < 0\) nên là hàm số nghịch biến

Hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) có \(a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} > 0\) nên là hàm số đồng biến

Hàm số \(y = - 5 - 3x\)\( \Leftrightarrow y = x - 9\)có \(a = - 1 < 0\) nên là hàm số nghịch biến.

Hàm số \(y = - \left( {9 + 3x} \right) \Leftrightarrow y = - 9 - 3x\) có \(a = - 3 < 0\) nên là hàm số nghịch biến.

Giải hệ phương trình đối xứng loại 2

+ Trừ vế với vế của hai phương trình ta được phương trình mới

+ Biến đổi phương trình nhận được và kết hợp với một trong hai phương trình ban đầu ta tìm được \(x;y\) .

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {x^2} - {y^2} = 4x - 4y\)\( \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - 4\left( {x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\y = 4 - x\end{array} \right.\)

Khi \(x = y\) thì \({x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 2\)

Khi \(y = 4 - x\) thì \({x^2} - 4x + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 2\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm \(\left( {0;0} \right),\left( {2;2} \right)\).

- Áp dụng \(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = {\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} \right)^3} = x + y + 3\sqrt[3]{{xy}}\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\)

-Lập phương hai vế, sau đó biến đổi để đưa về dạng cơ bản \(\sqrt[3]{x} = a \) thì \(x = {a^3}\)

Ta có: \(\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2\)

\( {\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}}} \right)^3} = {2^3}\)

\( x + 1 + 7 - x + 3\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}}} \right) = 8\)

Mà \(\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2\) nên ta có phương trình

\(3\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}}. 2 + 8 = 8\\ 6\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}} = 0\)

\( \sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}} = 0 \\ \left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right) = 0 \\ \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\7 - x = 0\end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 7\end{array} \right.\)

Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1;7} \right\}\).

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Sử dụng định nghĩa hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số dạng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Hàm số \(y = \dfrac{{3m}}{{1 - 2m}}x - 5\) là hàm số bậc nhất khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3m}}{{1 - 2m}} \ne 0\\1 - 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m \ne 0\\2m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Giá trị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \({y_0} = a{x_o}^2\).

Sử dụng hằng đẳng thực bình phương của một tổng để tính.

Ta có \(f\left( a \right) = 3 + \sqrt 5 \)

hay \(\dfrac{1}{2}{a^2} = 3 + \sqrt 5 \)

\({a^2} = 6 + 2\sqrt 5 \)

\({a^2} =5 +2\sqrt 5.1 + 1\)

\({a^2} =(\sqrt 5)^2+2\sqrt 5.1+1^2\)

\({a^2} = {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^2}\)

Suy ra \(a = \sqrt 5 + 1\) hoặc \(a = - \sqrt 5 - 1\)

Vậy tổng các giá trị của \(a\) là \(\left( {\sqrt 5 + 1} \right) + \left( { - \sqrt 5 - 1} \right) = 0\)

Gọi phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\)

Xác định hệ số \(a\) dựa vào góc tạo bởi đường thẳng \(d\) với đường thẳng cho trước tìm \(b\) dựa vào giao điểm với trục tung.

Gọi phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Vì góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(y = 2\) là \(135^\circ \) nên góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và trục \(Ox\) cũng là \(135^\circ \)(do đường thẳng \(y = 1\) song song với trục \(Ox\)) nên \(a = \tan 135^\circ = - 1\)

\( \Rightarrow y = - x + b\)

Vì đường thẳng \(d\) cắt trục tung tại điểm có tung độ \(4\) nên \(b = 4\).

Từ đó \(d:y = - x + 4\).

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số \(a,b\) không âm, ta có \(\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} \)

- Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)

\(\sqrt {{{12}^2}.{{\left( { - 11} \right)}^2}} = \sqrt {{{12}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 11} \right)}^2}} = \left| {12} \right|.\left| { - 11} \right| = 12.11 = 132\).

Gọi số thứ nhất là $a;a \in {\mathbb{N}}$ ; số thứ hai là $b;b \in {\mathbb{N}}.$

Vì số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là \(3\) nên ta biểu diễn được b theo a.

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng \(360\) nên ta viết được phương trình theo a.

Tính \(\Delta '\) để tìm a, từ đó ta tính được b.

Gọi số thứ nhất là \(a;a \in {\mathbb{N}^*}\) ; số thứ hai là \(b;b \in {\mathbb{N}^*}\)

Giả sử \(a > b.\)

Vì số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là \(3\) nên ta có \(a - 2b = 3\) hay \(a = 2b + 3\)

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng \(360\) nên ta có phương trình: \({a^2} - {b^2} = 360\,\,\left( * \right)\)

Thay \(a = 2b + 3\) vào (*) ta được \({\left( {2b + 3} \right)^2} - {b^2} = 360\) hay \(3{b^2} + 12b - 351 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = 1089\) suy ra \( \sqrt {\Delta '} = 33\) nên \(b_1 = \dfrac{{ - 6 + 33}}{3} = 9\left( {tm} \right)\); \(b_2 = \dfrac{{ - 6 - 33}}{3} = - 13\left( {ktm} \right)\)

Với \(b = 9\) thì \(a = 2.9 + 3 = 21\)

Vậy số bé hơn là \(9\) .

+) Tính cạnh còn lại theo định lý Py-ta-go

+) Tìm tỉ số lượng giác của góc từ đó suy ra góc.

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có

+) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {7^2} = 74 \Rightarrow BC = \sqrt {74} (cm)$

+) $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow \widehat C \approx 35^\circ 32'$

Vậy $BC = \sqrt {74}(cm) ;\widehat C \approx 35^\circ 32'$.

Sử dụng: Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Xét tam giác \(BEC\) vuông tại \(E\) có \(EI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\) (vì \(EI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác \(BDC\) vuông tại \(D\) có \(DI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\) (vì \(DI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ đó ta có \(ID = IE = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\) nên bốn điểm \(B,E,D,C\) cùng nằm trên một đường tròn có bán kính \(R = \dfrac{{BC}}{2}\).

Ta thấy \(IA > ID\) nên điểm \(A\) không thuộc đường tròn trên.

Giải phương trình trùng phương bằng cách đặt \({\left( {2x + 1} \right)^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)\)

Đưa về giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) , so sánh điều kiện \(t \ge 0\) rồi thay lại cách đặt để tìm \(x\).

Đặt \({\left( {2x + 1} \right)^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta được phương trình \({t^2} - 8t - 9 = 0\) (*)

Ta có \(a - b + c = 1 - \left( { - 8} \right) + \left( { - 9} \right) = 0\) nên phương trình (*) có hai nghiệm \({t_1} = 9\left( {tm} \right);{t_2} = -1\left( {ktm} \right)\)

Thay lại cách đặt ta có \({\left( {2x + 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 3\\2x + 1 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\)

Suy ra tổng các nghiệm là \(1 + \left( { - 2} \right) = - 1\).

Cho parabol \((P):y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}(a \ne 0)\) và đường thẳng \(d:y = mx + n\). Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của \((d)\) và \((P)\), ta làm như sau:

Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\) và \((P)\): \({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} = mx + n\)

Bước 2. Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó suy ra số giao điểm của parabol và đường thẳng

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \((d):\)

\(5{x^2} = - 4x - 4 \\ 5{x^2} + 4x + 4 = 0 \\{x^2} + 4{x^2} + 4x + 4 = 0 \\ {x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} = 0\,\,\left( * \right)\)

Xét \({x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0;\forall x\) và dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\) (vô lý) nên \({x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} > 0;\forall x\)

Hay phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy không có giao điểm của đường thẳng \((d)\) và parabol \(\left( P \right)\).

Đồ thị hàm số \(y = ax + b(a \ne 0)\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi \({y_0} = a{x_0} + b\).

Thay tọa độ từng điểm vào hàm số ta được

+) Với \(A\left( {1;\dfrac{{22}}{5}} \right)\). Thay \(x = 1;y = \dfrac{{22}}{5}\) vào \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\) ta được \(5.1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{{22}}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{23}}{5} = \dfrac{{22}}{5}\) (Vô lý)

+) Với \(B\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5}} \right)\). Thay \(x = \dfrac{1}{5};y = \dfrac{3}{5}\) vào \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\) ta được \(5.\dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5} = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\) (Luôn đúng)

+) Với \(C\left( { - \dfrac{2}{{25}}; - \dfrac{3}{5}} \right)\). Thay \(x = - \dfrac{2}{{25}};y = - \dfrac{3}{5}\) vào \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\) ta được \(5.\dfrac{{ - 2}}{{25}} - \dfrac{2}{5} = - \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow - \dfrac{4}{5} = - \dfrac{3}{5}\) (Vô lý)

+)Với \(D\left( {2;10} \right)\). Thay \(x = 2;y = 10\) vào \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\) ta được \(5.2 - \dfrac{2}{5} = 10 \Leftrightarrow \dfrac{{48}}{5} = 10\) (Vô lý)

\( \Rightarrow B\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\).

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\) và diện tích toàn phần của hình lập phương \({S_{tp}} = 6{a^2}\) với \(a\) là độ dài cạnh của hình lập phương.

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu \(R = \dfrac{a}{2}\) với \(a\) là cạnh hình lập phương.

Diện tích toàn phần của hình lập phương là:

\({S_{tp}} = 6{a^2} = 24 \)

Suy ra \(a = 2cm\)

Do đó \(R = \dfrac{2}{2} = 1cm\)

Khi đó ta có diện tích mặt cầu là:

\(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.1^2} = 4\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Ta có \(\sqrt {{x^2} - 2x + 10} + \sqrt {6{x^2} - 12x + 31} = 8\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9} + \sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25} = 8\)

Nhận thấy \(\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9} \ge 3;\sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25} \ge 5\) nên \(\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9} + \sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25} \ge 3 + 5\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9} + \sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25} \ge 8\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9} = 3\\\sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = 1\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 1.\)

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn từ đó suy ra góc.

Ta có \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{7}{4} \Rightarrow \widehat C \simeq 60^\circ 15'\)

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi Rh\) và diện tích một đáy

Bán kính đường tròn đáy \(R = \dfrac{6}{2} = 3\,cm\) nên diện tích một đáy là \(S_đ=\pi.R^2=9\pi\,(cm^2)\)

Ta có diện tích xung quanh của hình trụ:

\({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .3.10 = 60\pi \,c{m^2}\)

Vì hộp sữa đã mất nắp nên diện tích các mặt của hộp sữa là:

\({S_{tp}} = 9\pi + 60\pi = 69\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

+ Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập phương trình - giải phương trình.

+ Chọn kết quả và trả lời.

Gọi số dãy ghế là x \((x \in N*)\) (dãy)

Số ghế ở mỗi dãy là: \(\dfrac{{360}}{x}\) (ghế)

Số dãy ghế lúc sau là: \(x + 1\) (dãy)

Số ghế ở mỗi dãy lúc sau là: \(\dfrac{{360}}{x} + 1\) (ghế)

Vì sau khi tăng số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}(x + 1)\left( {\dfrac{{360}}{x} + 1} \right) = 400\\ (x + 1)\left( {\dfrac{{360 + x}}{x}} \right) = 400\\(x + 1)(360 + x) = 400x\\ 360x + {x^2} + 360 + x = 400x\\ {x^2} - 39x + 360 = 0\end{array}\)

Ta có: \(\Delta = {( - 39)^2} - 4.1.360 = 81 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \({x_1} = \dfrac{{39 + \sqrt {81} }}{2} = 24\,\,\,\,(ktm)\) và \({x_2} = \dfrac{{39 - \sqrt {81} }}{2} = 15\,\,\,\,(tm)\)

Vậy số dãy ghế là 15 (dãy).

Sử dụng công thức $\sqrt[3]{{{a^3}}} = a$

Ta có $\sqrt[3]{{125{a^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {5a} \right)}^3}}} = 5a$

Sử dụng nhận xét : Với góc nhọn \(\alpha ,\,\beta ,\) ta có: \(\alpha < \beta \Leftrightarrow \cot \alpha > \cot \beta \)

Vì \(46^\circ < 50^\circ \Leftrightarrow \cot 46^\circ > \cot 50^\circ \).

Sử dụng lý thuyết về hệ số góc của đường thẳng.

Đường thẳng \(d\) có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\)có \(a\) là hệ số góc.

Đường thẳng \(d\):\(y = \dfrac{1}{3}x - 10\) có hệ số góc là \(a = \dfrac{1}{3}\).

Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \(x\) (giờ), \(\left( {x > 2} \right)\).Biểu diễn tốc độ chảy của các vòi trong một giờ.Lập phương trình.

Giải phương trình để tìm x.

Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \(x\) (giờ), \(\left( {x > 2} \right)\).

Trong một giờ:

- Vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) ( bể).

- Vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{{x - 2}}\) ( bể).

- Vì vòi thứ ba chảy ra trong 7,5 giờ thì cạn bề nên trong 1h vòi thứ ba chảy được \(\dfrac{2}{{15}}\) ( bể).

Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước ở bể chảy ra nên ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{2}{{15}} = \dfrac{1}{{20}}\)

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{{11}}{{60}}\)

\(\dfrac{{x - 2 + x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{11}}{{60}}\)

\(\dfrac{{2x - 2}}{{{x^2} - 2x}} = \dfrac{{11}}{{60}}\)

\(120x - 120 = 11{x^2} - 22x\)

\(11{x^2} - 142x + 120 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = 3721 > 0\) suy ra \(\sqrt {\Delta '} = 61\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \dfrac{{71 - 61}}{{11}} = \dfrac{{10}}{{11}}\left( {ktm} \right)\) và \(x_2 = \dfrac{{71 + 61}}{{11}} = 12\left( {tm} \right)\)

Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau \(10\) giờ bể đầy nước.

Mỗi tam giác luôn có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp ⇒ Câu A đúng

Không phải tứ giác nào cũng có đường tròn nội tiếp ⇒ Câu B sai

Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác không phải lúc nào cũng là đường tròn nội tiếp tam giác (mà có thể là đường tròn bàng tiếp) ⇒ Câu D sai

Tính \(x\) theo hệ thức lượng \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{15.20}}{{\sqrt {{{15}^2} + {{20}^2}} }} = 12\)

Vậy \(x = 12\).

Sử dụng cách tính giá trị hàm số tại một điểm

Để tính giá trị \({y_0}\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) ta thay \(x = {x_0}\) vào \(f\left( x \right)\), ta được \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\).

So sánh các giá trị tìm được

Thay \(x = - 1\) vào hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^4}\) ta được \(f\left( { - 1} \right) = 6.{\left( { - 1} \right)^4} = 6\).

Thay \(x = \dfrac{2}{3}\) vào hàm số \(h\left( x \right) = 7 - \dfrac{{3x}}{2}\) ta được \(h\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = 7 - \dfrac{{3.\dfrac{2}{3}}}{2} = 6\).

Nên \(f\left( { - 1} \right) = h\left( {\dfrac{2}{3}} \right)\).

Hai phương trình có nghiệm chung thì nghiệm chung đó phải thoả mãn cả hai phương trình

Gọi \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình thì \({x_0}\) phải thỏa mãn hai phương trình trên.

Thay \(x = {x_0}\) vào hai phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 + m{x_0} + 2 = 0\\{x_0}^2 + 2{x_0} + m = 0\end{array} \right. \) \(\Rightarrow (m - 2){x_0} + 2 - m = 0\) \(\Leftrightarrow (m - 2)(x_0-1)= 0\)

+) Nếu \(m = 2\) thì \(0 = 0\) (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau.

Lúc này phương trình \({x^2} + 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = - 1\) vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm.

Vậy \(m = 2\) không thỏa mãn.

+) Nếu \(m \ne 2\) thì \({x_0} = 1\).

Thay \({x_0} = 1\) vào phương trình \({x_0}^2 + m{x_0} + 2 = 0\) ta được \(1 + m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\).

Vậy \(m = - 3\) thì hai phương trình có nghiệm chung.

Giải hệ phương trình (I) sau đó thay nghiệm tìm được vào hệ phương trình (II) để tìm \(m.\)

Giải hệ phương trình (I) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 3\\3x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y - \left( {3x + y} \right) = 3 - 1\\3x + y = 1\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}2y = 2\\3x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\3x + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 0\end{array} \right.\)

Hai phương trình tương đương \( \Leftrightarrow \) hai phương trình có cùng tập nghiệm hay (0; 1) cũng là nghiệm của phương trình (II).

Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\) vào hệ phương trình (II) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0 - n.1 = 1\\0 + m.1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 1\\m = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(n = - 1;m =1\).

+ Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)

+ So sánh hai căn bậc hai \(\sqrt A > \sqrt B \Leftrightarrow A > B\) với \(A,B\) không âm để phá dấu giá trị tuyệt đối.

Ta có: \(\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {11} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {11} } \right)}^2}} = \left| {5 - \sqrt {11} } \right| + \left| {3 - \sqrt {11} } \right|\)

Vì:

+) \(5 = \sqrt {25} > \sqrt {11} \) nên \(5 - \sqrt {11} > 0 \), do đó \(\left| {5 - \sqrt {11} } \right| = 5 - \sqrt {11} \)

+) \(3 = \sqrt 9 < \sqrt {11} \) nên \( 3 - \sqrt {11} < 0 \), do đó \( \left| {3 - \sqrt {11} } \right| = \sqrt {11} - 3\)

Vì vậy

\(\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {11} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {11} - 3} \right)}^2}} = \left| {5 - \sqrt {11} } \right| + \left| {\sqrt {11} - 3} \right|\)\( = 5 - \sqrt {11} + \sqrt {11} - 3 = 2\).

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) \(A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} \) với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\)

+) \(A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} \) với \(A < 0\) và \(B \ge 0\)

Ta có: \(5x\sqrt {\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}} \)\( = - \sqrt {{{\left( {5x} \right)}^2}.\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}} = \sqrt {25{x^2}\left( {\dfrac{{ - 12}}{x^3}} \right)} = - \sqrt {\dfrac{{ - 300}}{x}} \).

+) Nhận biết được góc có đỉnh nằm trong, ngoài đường tròn, góc nội tiếp

+) Tính được số đo góc nằm trong, ngoài đường tròn theo cung bị chắn

+) Nắm vững mối quan hệ góc nội tiếp và số đo cung bị chắn, mối uan hệ giữa số đo cung và dây cung

Ta có tam giác AOB cân tại O nên dễ dàng chỉ ra được $sđ\overparen{AD} = sđ\overparen{DB}$

$\begin{array}{l}\widehat {IFN} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{BN} + sđ\overparen{AD}} \right) \\= \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{BN} + sđ\overparen{BD}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{DN} = \widehat {INF}\end{array}$

Suy ra tam giác FIN cân tại I

Ta có:

$\begin{array}{l}{\widehat N_1} + \widehat {{N_3}} = {90^0} \Rightarrow {\widehat N_1} + \widehat {{C_4}} = {90^0}\\\widehat {{E_1}} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{AC} - sđ\overparen{BN}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{BC} - sđ\overparen{CN}} \right) = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{NC}\\ \Rightarrow \widehat {{C_4}} + \widehat {{E_1}} = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{DN} + \dfrac{1}{2}sđ\overparen{NC} \\= \dfrac{1}{2}sđ\overparen{DC} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{N_1}}\end{array}$

Do đó \(\Delta INE\) cân tại I.