đề khảo sát đội tuyển hsgqg toán năm 2022 – 2023 chuyên lê quý đôn – điện biên

Montoan.com xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi khảo sát đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 của trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Điện Biên. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 26 tháng 08 năm 2022, là một bước chuẩn bị quan trọng cho các em học sinh có nguyện vọng tham gia vào đội tuyển quốc gia.

Bộ đề thi này được đánh giá cao về tính phân loại và độ khó, bao gồm các bài toán đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về kiến thức Toán học, khả năng tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Dưới đây là chi tiết nội dung đề thi:

1. Bài 1: Hình học

   Cho tam giác nhọn ABC không cân tại A, có trực tâm H. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AC, cắt đường tròn đường kính AC tại hai điểm D và E (D nằm giữa E và B) đồng thời cắt đường thẳng AC tại K. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt đường tròn đường kính AB tại hai điểm F và G (F nằm giữa C và G) đồng thời cắt đường thẳng AB tại L.

   • a) Chứng minh rằng bốn điểm D, F, E, G cùng nằm trên một đường tròn.
   • b) Giả sử KL giao BC tại I. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AI và cắt đường thẳng LC tại J. Chứng minh rằng H là trung điểm đoạn thẳng CJ.

   Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về đường tròn, tính chất của trực tâm và các đường cao trong tam giác. Yêu cầu thí sinh phải có khả năng vẽ hình chính xác, phân tích các mối quan hệ hình học và vận dụng linh hoạt các định lý liên quan.

2. Bài 2: Số học

   Cho 2022 số nguyên dương a1, a2, …, a2022 bất kỳ. Có tồn tại hay không vô hạn số nguyên dương n />= 2022 thỏa mãn dãy 2022 số a1 + n, a2 + n, …, a2022 + n đều là hợp số không?

   Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực số học, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các khái niệm về số nguyên tố, số hợp số và các tính chất liên quan. Bài toán này khuyến khích thí sinh suy luận logic và tìm ra các điều kiện cần và đủ để dãy số thỏa mãn yêu cầu.

3. Bài 3: Tổ hợp

   Cho bảng ô vuông kích thước 100×100 mà mỗi ô được điền một trong các ký tự A, B, C, D sao cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng 25. Ta gọi hai ô thuộc cùng hàng (không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn hình chữ nhật có các cạnh song song với bảng và bốn đỉnh của nó được điền đủ bốn ký tự A, B, C, D là “bảng tốt”.

   • a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông 1×4, 4×1 và 2×2 đều có chứa đủ các ký tự A, B, C, D?
   • b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho:
   • i) Luôn có 2 cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được 76 cặp tốt.
   • ii) Luôn có một bảng tốt.

   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về tổ hợp và kỹ năng đếm. Bài toán đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân tích cấu trúc của bảng ô vuông, tìm ra các quy luật và áp dụng các công thức tổ hợp để giải quyết vấn đề. Phần chứng minh yêu cầu thí sinh phải có khả năng suy luận chặt chẽ và đưa ra các lập luận logic.

Montoan.com hy vọng bộ đề thi này sẽ là tài liệu hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán.