đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi hsg quốc gia toán 12 năm 2019 sở gd và đt lạng sơn

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Toán 12 năm 2019 - Sở Giáo dục và Đào tạo Lạng Sơn là một đề thi thử nghiệm quan trọng, được tổ chức vào ngày 24 tháng 08 năm 2018, nhằm đánh giá và tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất đại diện cho tỉnh tham gia kỳ thi học sinh giỏi quốc gia chính thức.

Đề thi có cấu trúc gồm 5 bài toán tự luận, được trình bày trên một trang giấy, với thời gian làm bài là 180 phút (không tính thời gian phát đề). Điểm đặc biệt của đề thi này là có kèm theo lời giải chi tiết, tạo điều kiện thuận lợi cho việc tự học, ôn luyện và phân tích bài toán.

Nội dung đề thi bao gồm các bài toán sau:

1. Bài toán 1 (Hình học tổ hợp): Trên mặt phẳng cho 2n² (n ≥ 2) đường thẳng sao cho không có hai đường nào song song và không có ba đường nào đồng quy. Các đường thẳng này chia mặt phẳng ra thành các miền rời nhau. Trong các miền đó, gọi F là tập tất cả các miền đa giác có diện tích hữu hạn. Chứng minh rằng có thể tô n đường thẳng trong số 2n² đường thẳng đã cho bằng màu xanh sao cho không có miền nào trong tập F có tất cả các cạnh màu xanh.
2. Bài toán 2 (Hình học): Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cung nhỏ BC, AD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của OM, ON. Gọi K là điểm đối xứng với O qua M. Chứng minh rằng tứ giác BJDK nội tiếp đường tròn. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên AB, AC. Chứng minh rằng AK ⊥ PQ.
3. Bài toán 3 (Đại số): Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên, bậc 2 và hệ số bậc 2 bằng 1 thỏa mãn tồn tại đa thức Q(x) có hệ số nguyên sao cho P(x).Q(x) là đa thức có tất cả các hệ số đều là ±1. Chứng minh rằng nếu đa thức P(x) có nghiệm thực x₀ thì |x₀| < 2. Tìm tất cả các đa thức P(x).

Đánh giá và nhận xét:

• Đề thi có độ khó tương đối cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về các lĩnh vực Đại số, Hình học và Tổ hợp.
• Các bài toán được xây dựng một cách sáng tạo, có tính phân loại cao, giúp đánh giá chính xác năng lực của học sinh.
• Bài toán 1 thuộc dạng hình học tổ hợp, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng suy luận tốt.
• Bài toán 2 là một bài toán hình học phức tạp, kết hợp nhiều kiến thức về đường tròn, hình chữ nhật và các tính chất đối xứng.
• Bài toán 3 là một bài toán đại số thú vị, liên quan đến các đa thức và nghiệm thực.

Nhìn chung, đây là một đề thi chất lượng, có giá trị tham khảo cao cho các học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán.