đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh toán 9 năm 2020 – 2021 sở gd&đt nghệ an

Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh Nghệ An năm học 2020 – 2021: Đánh giá chi tiết và phân tích nội dung

Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học 2020 – 2021 do Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An tổ chức, bao gồm hai bảng A và B, được đánh giá là một đề thi có độ khó cao, phân loại học sinh tốt. Điểm nổi bật của đề thi là sự kết hợp hài hòa giữa kiến thức hình học và đại số, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic, khả năng phân tích và vận dụng linh hoạt các định lý, công thức toán học. Đề thi đi kèm với đáp án và lời giải chi tiết, được biên soạn bởi các thành viên của Tạp chí và Tư liệu Toán học, đảm bảo tính chính xác và dễ hiểu.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:

1. Bài toán 1 (Hình học): Cho tam giác nhọn ABC có D, E, F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C của tam giác. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và K là trung điểm của HC.
   • a) Chứng minh rằng 4 điểm E, K, D, F cùng thuộc một đường tròn.
   • b) Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt DF tại M. Trên tia DE lấy điểm P sao cho góc MAP bằng góc BAC. Chứng minh rằng tỉ số diện tích tam giác AMF và diện tích tam giác AMP bằng tỉ số MF/MP (SAMF/SAMP = MF/MP).
   Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về đường tròn ngoại tiếp, tính chất của trực tâm và trung điểm, cũng như khả năng vận dụng các định lý về tam giác đồng dạng và tỉ lệ diện tích. Phần b đòi hỏi thí sinh phải có sự sáng tạo trong việc xây dựng hình phụ và chứng minh.
2. Bài toán 2 (Đại số): Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x² + y² + z = 3xy. Chứng minh rằng… (phần chứng minh bị thiếu trong nội dung gốc).
Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng bất đẳng thức, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về các bất đẳng thức cơ bản như AM-GM, Cauchy-Schwarz, và kỹ năng biến đổi đại số. Việc thiếu phần chứng minh khiến việc đánh giá đầy đủ trở nên khó khăn.
3. Bài toán 3 (Tổ hợp): Cho đa giác đều có 2021 đỉnh, sao cho mỗi đỉnh của đa giác đó chỉ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh của đa giác đã cho là các đỉnh của một tam giác cân mà các đỉnh đó được tô cùng một màu.
Nhận xét: Bài toán này là một bài toán tổ hợp khá thú vị, đòi hỏi thí sinh phải vận dụng nguyên lý Dirichlet (còn gọi là hộp) và kiến thức về tam giác cân. Đây là một bài toán thách thức, đòi hỏi tư duy logic và khả năng suy luận.

Ưu điểm của đề thi:

• Độ khó phù hợp, phân loại học sinh giỏi rõ ràng.
• Nội dung đa dạng, bao gồm cả hình học, đại số và tổ hợp.
• Các bài toán có tính ứng dụng cao, khuyến khích tư duy sáng tạo.
• Đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự học và ôn tập hiệu quả.