đề thi học sinh giỏi toán 12 năm 2020 – 2021 sở gd&đt thành phố hồ chí minh

Ngày 17 tháng 03 năm 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh đã tổ chức thành công kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp thành phố năm học 2020 – 2021.

Kỳ thi được đánh giá là có độ khó cao, nhằm phân loại học sinh có năng lực đặc biệt trong lĩnh vực Toán học. Đề thi gồm 01 trang, với 05 bài toán tự luận, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt. Thời gian làm bài là 120 phút, không tính thời gian phát đề.

Dưới đây là trích dẫn một số bài toán tiêu biểu trong đề thi:

1. Bài toán 1: Cho hàm số y = x² + x + 2021,5 có đồ thị (P). Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng mà từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến (P).
2. Bài toán 2: Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn (O). Trong hình nón, người ta đặt một hình chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, nội tiếp đường tròn (O) và BAC = 120°. Đỉnh D nằm trên mặt xung quanh của hình nón, các mặt bên của hình chóp tạo với đáy một góc bằng nhau.
   • a) Chứng minh D thuộc đường thẳng SA.
   • b) Tính thể tích khối nón khi thể tích khối chóp bằng 3.
3. Bài toán 3: Cho X = {n ∈ Z | -5 ≤ n ≤ 5} và X là tập hợp các hàm số f(x) = ax⁴ + bx² + c có a, b, c ∈ X và f(x) có 3 điểm cực trị. Chọn ngẫu nhiên f(x) từ X, tính xác suất để gốc tọa độ O nằm hoàn toàn trong tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị của đồ thị f(x).

Nhận xét: Đề thi năm nay có sự kết hợp hài hòa giữa các kiến thức Đại số và Hình học, đồng thời có một bài toán mang tính chất tổ hợp – xác suất. Các bài toán đều có tính ứng dụng cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững lý thuyết mà còn phải có khả năng vận dụng linh hoạt vào thực tế. Bài toán về hàm số bậc bốn và điểm cực trị được đánh giá là thách thức lớn đối với thí sinh, đòi hỏi sự phân tích kỹ lưỡng và kỹ năng tính toán chính xác.