đề thi học sinh giỏi toán 9 năm học 2021 – 2022 sở gd&đt hà nội

MonToan.com.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp thành phố Hà Nội năm học 2021 – 2022 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tổ chức. Kỳ thi chính thức được diễn ra vào ngày 24 tháng 03 năm 2022.

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt. Nội dung đề thi bao gồm các bài toán hình học, đại số và số học, được trình bày chi tiết như sau:

1. Bài toán 1 (Hình học): Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại trực tâm H. Gọi K, Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với hai đường thẳng AH, AO.
   • Chứng minh AQE = 90°.
   • Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh IE² = IK.ID.
   • Gọi R, J lần lượt là trung điểm của BE, CF. Chứng minh JR vuông góc với QD.
2. Bài toán 2 (Đại số): Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho số (a³ + b)(b³ + a) là lập phương của một số nguyên tố.
3. Bài toán 3 (Số học): Trên bảng ta viết số tự nhiên 222…2 gồm 2022 chữ số 2. Mỗi bước ta chọn 22 chữ số liên tiếp nào đó có chữ số ngoài cùng bên trái bằng 2, rồi biến đổi các chữ số được chọn theo qui tắc: chữ số 2 đổi thành chữ số 0 còn chữ số 0 đổi thành chữ số 2.
   • Chứng minh mọi cách thực hiện đều phải dừng lại sau một số hữu hạn bước.
   • Giả sử sau khi thực hiện được n bước thì không thể thực hiện được thêm bước nào nữa. Chứng minh n là số lẻ.

Nhận xét chung:

• Bài toán 1 tập trung vào kiến thức về đường tròn, tam giác, đường cao và trực tâm, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng vận dụng linh hoạt các định lý và tính chất hình học.
• Bài toán 2 kiểm tra khả năng phân tích và tìm kiếm nghiệm nguyên của phương trình, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về số học và kỹ năng biến đổi đại số.
• Bài toán 3 là một bài toán số học thú vị, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng quan sát, phân tích và chứng minh một cách chặt chẽ.

MonToan.com.vn hy vọng đề thi này sẽ là tài liệu hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.