đề thi học sinh giỏi toán 9 năm học 2022 – 2023 sở gd&đt hà nội

MonToan.com.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 bộ đề thi chọn học sinh giỏi Toán cấp thành phố Hà Nội năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tổ chức vào ngày 08 tháng 01 năm 2023.

Đề thi được biên soạn với mục tiêu đánh giá năng lực toàn diện của học sinh, bao gồm kiến thức nền tảng vững chắc và khả năng vận dụng sáng tạo để giải quyết các bài toán phức tạp. Đi kèm với đề thi là đáp án và lời giải chi tiết, được xây dựng bởi đội ngũ tác giả uy tín: thầy Võ Quốc Bá Cẩn, thầy Trần Đức Hiếu và thầy Đào Phúc Long. Bản lời giải này không chỉ cung cấp phương pháp giải đúng mà còn phân tích sâu sắc các bước tư duy, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề.

Cấu trúc đề thi và nội dung chính:

1. Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = (a + b)/c + (b + c)/a + (c + a)/b, với a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn a + b + c = 16. Bài toán này đòi hỏi học sinh có kỹ năng phân tích, đánh giá và sử dụng các bất đẳng thức để tìm ra kết quả tối ưu.
2. Bài toán 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm S. Trên tia đối của tia CA lấy điểm M (M khác C). Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với OM, cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt E, F (E nằm giữa S và F).
• Yêu cầu a) Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).
• Yêu cầu b) Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ M đến đường thẳng BC. Chứng minh EC là tia phân giác của góc FED.
• Yêu cầu c) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MD với hai đường thẳng BE và BF. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ. Chứng minh góc SDK = 90.

Bài toán hình học này kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức về đường tròn, tiếp tuyến, tam giác vuông và các tính chất liên quan. Việc giải quyết bài toán đòi hỏi sự kết hợp linh hoạt giữa các định lý và kỹ năng vẽ hình, phân tích tình huống.

3. Bài toán 3: Cho đa giác đều A1A2…A2023. Gọi S là tập hợp gồm các trung điểm của các đoạn thẳng AiAj (1 ≤ i < j ≤ 2023) và M là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm thuộc S. Gọi N là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng AiAj (1 ≤ i < j ≤ 2023). Chứng minh M < 10112N.

Bài toán này thuộc dạng toán tổ hợp và hình học, đòi hỏi học sinh có tư duy logic và khả năng khái quát hóa. Việc chứng minh bất đẳng thức M < 10112N yêu cầu học sinh phải tìm ra mối liên hệ giữa các đại lượng và sử dụng các kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức phù hợp.

Đánh giá chung:

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 cấp thành phố Hà Nội năm học 2022 – 2023 là một đề thi chất lượng, có độ khó phù hợp và bao quát nhiều kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 9. Các bài toán được thiết kế sáng tạo, đòi hỏi học sinh phải có tư duy độc lập và khả năng giải quyết vấn đề linh hoạt. Bộ đề thi này là tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh đang luyện thi học sinh giỏi và mong muốn nâng cao trình độ Toán học.