đề thi hsg toán 10 năm 2022 – 2023 lần 1 trường chuyên khtn – hà nội

Montoan.com trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 10 bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm học 2022 – 2023, vòng 1 của trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, thành phố Hà Nội. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 08 tháng 08 năm 2022.

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt. Các bài toán không chỉ kiểm tra kiến thức nền tảng mà còn khuyến khích học sinh vận dụng sáng tạo các phương pháp toán học khác nhau để tìm ra lời giải.

Trích dẫn nội dung đề thi HSG Toán 10 năm 2022 – 2023 lần 1 trường chuyên KHTN – Hà Nội:

1. Bài toán 1: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho 5n – 1, 55n + 11 là hai số chính phương và 55n² – 149 là số nguyên tố.
2. Bài toán 2: Xét 100 số nguyên a₁, a₂, …, a₉₉, a₁₀₀ có tính chất sau: a₁ = a₁₀₀ = 0 và với mỗi số nguyên dương 2 < i < 99 ta đều có a_i > (a_i-1 + a_i+1)/2. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của a₂₃?
3. Bài toán 3: Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm P thuộc cung nhỏ CD của (O). M là trung điểm CD. Lấy Q thuộc đường thẳng AD sao cho PQ và PM vuông góc. Trên BQ lấy R sao cho PR vuông góc với CD.
   • a) Chứng minh rằng PB và OM cắt nhau trên đường tròn đường kính QM.
   • b) Chứng minh rằng tứ giác PCRD và tam giác RAB có diện tích bằng nhau.
   • c) Hỏi có tất cả bao nhiêu vị trí của P để RA vuông góc RB? Hãy giải thích.

Nhận xét chung:

• Bài toán 1 tập trung vào kiến thức về số chính phương và số nguyên tố, đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân tích và biến đổi đại số tốt.
• Bài toán 2 là một bài toán về dãy số, yêu cầu học sinh phải hiểu rõ về tính chất của dãy số và sử dụng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
• Bài toán 3 là một bài toán hình học phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về hình học phẳng, đặc biệt là các tính chất của đường tròn và các mối quan hệ giữa các điểm và đường thẳng.

Montoan.com hy vọng bộ đề thi này sẽ là tài liệu hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.