đề thi olympic môn toán năm 2023 trường thpt chuyên khtn – hà nội

Montoan.com trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi Olympic môn Toán năm 2023 của Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, thành phố Hà Nội. Đây là một đề thi có chất lượng cao, thể hiện rõ đặc trưng của các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp quốc gia và quốc tế.

Trích dẫn Đề thi Olympic môn Toán năm 2023 trường THPT chuyên KHTN – Hà Nội:

1. Bài 1: Cho dãy số (a_n) thỏa mãn a₁ = 7 và a_n+1 = a_n(3a_n − 22n + 1) với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a₂₀₂₃ thì p − 1 chia hết cho 3.
2. Bài 2: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) với phân giác trong AD (D nằm trên cạnh BC). M là trung điểm BC. AM cắt lại (O) tại N. J là trung điểm cung BC chứa A của (O). Trên (O) lấy các điểm S và T sao cho JS song song AB và JT song song AC.
   • a) Chứng minh rằng đường thẳng ST đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADN.
   • b) Lấy P thuộc (O) sao cho NP = AJ. Gọi giao điểm của PB và PC lần lượt với JS và JT là Q và R. Chứng minh rằng Q, R, D thẳng hàng.
3. Bài 3: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với BC < AD. Gọi ω là đường tròn tâm C đi qua B. Giả sử có một tiếp tuyến của ω vuông góc với BD đồng thời cắt tia đối tia AB tại E. F thuộc đường thẳng CD sao cho EF song song AD. P là hình chiếu vuông góc của F trên M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM tiếp xúc với ω.

Đánh giá và nhận xét:

Đề thi Olympic Toán 2023 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về nhiều lĩnh vực của Toán học, bao gồm:

• Số học: Bài 1 kiểm tra khả năng vận dụng các kiến thức về dãy số, tính chất chia hết và ước nguyên tố.
• Hình học: Bài 2 và Bài 3 tập trung vào các kiến thức về đường tròn, tam giác, hình thang, và các tính chất liên quan đến điểm, đường thẳng, và đường tròn. Bài 2 đặc biệt chú trọng đến việc sử dụng tính chất đối xứng và các điểm đặc biệt của đường tròn. Bài 3 đòi hỏi sự kết hợp linh hoạt giữa hình học phẳng và các kiến thức về tiếp xúc đường tròn.

Các bài toán trong đề thi đều có tính sáng tạo và yêu cầu học sinh phải có tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề tốt. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các học sinh đang luyện thi Olympic Toán và các kỳ thi học sinh giỏi khác.