định nghĩa và tính chất của hàm số bậc nhất

Bài viết này trình bày một cách hệ thống về hàm số bậc nhất, bao gồm định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập thường gặp trong chương trình Đại số 9. Nội dung được phân chia rõ ràng, giúp người học dễ dàng tiếp cận và nắm bắt kiến thức.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng \(y = ax + b\), trong đó \(a\) và \(b\) là các số cho trước và \(a \ne 0\).

2. Tính chất

Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) xác định với mọi \(x \in R\) và có tính chất:

• Đồng biến trên \(R\) khi \(a > 0\).
• Nghịch biến trên \(R\) khi \(a < 0\).

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. NHẬN DẠNG HÀM SỐ BẬC NHẤT.

I. Phương pháp giải

1. Viết lại hàm số về dạng \(y = ax + b\). Nếu thiếu hạng tử tự do, thêm số 0; nếu thiếu hệ số, thêm số 1.
2. Xác định hệ số \(a\) (hệ số của \(x\)) và \(b\) (hạng tử tự do).
3. Nếu \(a > 0\), hàm số đồng biến; nếu \(a < 0\), hàm số nghịch biến.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số \(a\), \(b\) và xét xem hàm số nào đồng biến, nghịch biến.

• a) \(y = 1 – 5x\). Đây là hàm số bậc nhất với \(a = -5\), \(b = 1\). Vì \(a < 0\) nên hàm số nghịch biến.
• b) \(y = -0,5x\). Đây là hàm số bậc nhất với \(a = -0,5\), \(b = 0\). Vì \(a < 0\) nên hàm số nghịch biến.
• c) \(y = \sqrt{2}(x – 1) + \sqrt{3}\). Viết lại thành \(y = \sqrt{2}x + \sqrt{3} – \sqrt{2}\). Đây là hàm số bậc nhất với \(a = \sqrt{2}\), \(b = \sqrt{3} – \sqrt{2}\). Vì \(a > 0\) nên hàm số đồng biến.
• d) \(y = 2x^2 + 3\). Không phải là hàm số bậc nhất.
• e) \(y = 4a + 1\). Hàm số hằng, không phải hàm bậc nhất.

Ví dụ 2: Với những giá trị nào của \(m\) thì mỗi hàm số sau là hàm bậc nhất?

• a) \(y = \sqrt{5 – m}(x – 1)\). Viết lại thành \(y = \sqrt{5 – m}x – \sqrt{5 – m}\). Hàm số bậc nhất khi \(a = \sqrt{5 – m} \ne 0\), tức là \(5 – m > 0\) hay \(m < 5\).
• b) \(y = \frac{m + 1}{m – 1}x + 3,5\). Hàm số bậc nhất khi \(a = \frac{m + 1}{m – 1} \ne 0\), tức là \(m \ne -1\) và \(m \ne 1\).

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc nhất \(y = (m – 1)x + 2\) \((m \ne 1)\).

• a) Tìm \(m\) để hàm số đồng biến. Hàm số đồng biến khi \(a = m – 1 > 0\), tức là \(m > 1\).
• b) Tìm \(m\) để hàm số nghịch biến. Hàm số nghịch biến khi \(a = m – 1 < 0\), tức là \(m < 1\).

III. Bài tập

1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Xác định \(a\), \(b\) và xét tính đồng biến, nghịch biến.
• a) \(y = 2 – 0,3x\).
• b) \(y = \frac{3}{2}x\).
• c) \(y = 4 – x^2\).
• d) \(y = (\sqrt{3} – 1)x + 2\).
• e) \(y = \sqrt{3}(\sqrt{2} – x)\).
• f) \(y + \sqrt{3} = x – \sqrt{2}\).
• g) \(y = a + \sqrt{3}\).
2. Với các giá trị nào của \(m\) thì mỗi hàm số sau là hàm số bậc nhất?
• a) \(y = \frac{1}{m^2 – 1}(2x – 1)\).
• b) \(y = \sqrt{1 – 2m}(x + 3)\).
3. Với những giá trị nào của \(m\) thì mỗi hàm số bậc nhất sau đây là hàm nghịch biến?
• a) \(y = –m^2x + 1\).
• b) \(y = (1 – 3m)x – 2\).

Dạng 2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT – GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ.

I. Phương pháp giải

1. Để tính giá trị của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x = x_0\), thay \(x = x_0\) vào công thức và tính \(f(x_0)\).
2. Để tính giá trị của \(x\) khi \(y = y_0\), thay \(y = y_0\) vào công thức và giải phương trình tìm \(x\).

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất \(y = (1 – \sqrt{5})x – 1\).

• a) Hàm số nghịch biến vì \(a = 1 – \sqrt{5} < 0\).
• b) Khi \(x = 1 + \sqrt{5}\), \(y = (1 – \sqrt{5})(1 + \sqrt{5}) – 1 = 1 – 5 – 1 = -5\).
• c) Khi \(y = \sqrt{5}\), \(\sqrt{5} = (1 – \sqrt{5})x – 1 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{5} + 1}{1 – \sqrt{5}} = -\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\).

Ví dụ 2: Tìm trên mặt phẳng toạ độ các điểm:

• a) Có tung độ bằng 3: Đường thẳng \(y = 3\).
• b) Có hoành độ bằng 2: Đường thẳng \(x = 2\).
• c) Có tung độ bằng 0: Trục hoành \(y = 0\).
• d) Có hoành độ bằng 0: Trục tung \(x = 0\).
• e) Có hoành độ và tung độ bằng nhau: Đường thẳng \(y = x\).
• f) Có hoành độ và tung độ đối nhau: Đường thẳng \(y = -x\).

III. Bài tập

1. Cho hàm số \(y = (3 + \sqrt{2})x + 2\).
• a) Tính \(y\) khi \(x = 0, 1, \sqrt{2}, 3 – \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}\).
• b) Tính \(x\) khi \(y = 0, 1, 4, 2 – \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}\).

Dạng 3. LẬP CÔNG THỨC MỘT HÀM SỐ.

I. Phương pháp giải

1. Xác định công thức tính các đại lượng liên quan.
2. Biểu diễn các đại lượng theo biến số.
3. Lập công thức hàm số.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có kích thước 20 cm và 30 cm. Bớt mỗi kích thước đi \(x\) cm. Gọi chu vi hình chữ nhật mới là \(y\) cm. Lập công thức tính \(y\) theo \(x\). \(y = 2(20 – x + 30 – x) = 100 – 4x\).

Ví dụ 2: Thửa ruộng hình thang có đường trung bình là \(x\) m và chiều cao là 15 m. Lập công thức tính diện tích \(y\) theo \(x\). \(y = 15x\).

III. Bài tập

1. Lập công thức biểu thị \(y\) theo \(x\). Công thức nào là hàm số bậc nhất?
• a) Diện tích tam giác có đáy \(x\) cm và chiều cao 5 cm.
• b) Chu vi hình thoi có cạnh \(x\).
• c) Diện tích hình vuông có cạnh \(x\) m.
• d) Chu vi đường tròn có bán kính \(x\).

Đánh giá chung:

Bài viết cung cấp một tài liệu học tập đầy đủ và chi tiết về hàm số bậc nhất. Việc trình bày theo cấu trúc rõ ràng (Định nghĩa, Tính chất, Các dạng bài tập) cùng với các ví dụ minh họa cụ thể giúp người học dễ dàng hiểu và vận dụng kiến thức. Các bài tập đa dạng về mức độ cũng là một điểm mạnh, giúp người học rèn luyện kỹ năng giải toán. Việc bổ sung thêm các bài tập có tính ứng dụng cao hơn sẽ làm tăng tính thực tiễn của tài liệu.