Tính chất tia phân giác của một góc

Tính chất tia phân giác của một góc - Lý thuyết và ứng dụng

Trong hình học, tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Hiểu rõ tính chất của tia phân giác là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tam giác và các đường đồng quy.

1. Định nghĩa tia phân giác của một góc

Tia phân giác của góc xOy là tia Ot sao cho:

Tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy.
∠xOt = ∠yOt

2. Tính chất của tia phân giác của một góc

Mọi điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Ngược lại, mọi điểm cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Chứng minh:

Xét tam giác OAB với Ot là tia phân giác của góc O. Gọi D là hình chiếu của điểm M trên OA và E là hình chiếu của điểm M trên OB. Ta có:

ΔOMD vuông tại D và ΔOME vuông tại E
OM là cạnh chung
∠MOD = ∠MOE (vì Ot là tia phân giác)

Do đó, ΔOMD = ΔOME (cạnh huyền - góc nhọn). Suy ra MD = ME, tức là điểm M cách đều hai cạnh OA và OB.

3. Ứng dụng của tính chất tia phân giác

Tính chất tia phân giác được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác cân, tam giác đều và các đường đồng quy trong tam giác.

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC.

Giải:

Vì tam giác ABC cân tại A và D là trung điểm của BC nên AD là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ABC. Do đó, AD ⊥ BC. Xét hai tam giác ABD và ACD, ta có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
BD = CD (D là trung điểm của BC)
AD là cạnh chung

Do đó, ΔABD = ΔACD (c-c-c). Suy ra ∠BAD = ∠CAD, tức là AD là tia phân giác của góc BAC.

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho MB = MC. Chứng minh CM là tia phân giác của góc ACB.

Giải:

Xét hai tam giác BMC và AMC, ta có:

MB = MC (giả thiết)
BC = AC (giả thiết)
MC là cạnh chung

Do đó, ΔBMC = ΔAMC (c-c-c). Suy ra ∠BCM = ∠ACM, tức là CM là tia phân giác của góc ACB.

4. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về tính chất tia phân giác, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính tỉ số BD/CD nếu AB = 5cm, AC = 7cm.
Cho tam giác ABC cân tại A, trên tia đối của BA lấy điểm E sao cho BE = BC. Gọi M là trung điểm của EC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC.

5. Kết luận

Tính chất tia phân giác của một góc là một kiến thức cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong hình học. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập và giải quyết các vấn đề thực tế.

Hãy truy cập montoan.com.vn để khám phá thêm nhiều tài liệu học tập hữu ích và các bài giảng chất lượng cao về Toán 7!