Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng - Toán 12 Kết nối tri thức

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc là gì?

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến ngẫu nhiên chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn đếm được các giá trị. Ví dụ, số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa, số lỗi trong một lô sản phẩm, số con trong một gia đình là những biến ngẫu nhiên rời rạc.

2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc X là một hàm số P(X = x) cho biết xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x. Phân phối xác suất phải thỏa mãn hai điều kiện:

• 0 ≤ P(X = x) ≤ 1 với mọi x
• ∑ P(X = x) = 1 (tổng xác suất của tất cả các giá trị x phải bằng 1)

3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

a. Kỳ vọng (E(X))

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là E(X), là giá trị trung bình của X. Công thức tính kỳ vọng là:

E(X) = ∑ x * P(X = x)

Kỳ vọng cho ta biết giá trị mà ta có thể mong đợi nhận được khi thực hiện một thí nghiệm nhiều lần.

b. Phương sai (Var(X))

Phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là Var(X), là một thước đo độ phân tán của X xung quanh kỳ vọng. Công thức tính phương sai là:

Var(X) = E[(X - E(X))^2] = ∑ (x - E(X))^2 * P(X = x)

Phương sai càng lớn, thì sự phân tán của các giá trị của X càng lớn.

c. Độ lệch chuẩn (σ(X))

Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là σ(X), là căn bậc hai của phương sai. Công thức tính độ lệch chuẩn là:

σ(X) = √Var(X)

Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với X và cho ta biết mức độ biến động của X.

4. Ví dụ minh họa

Xét một biến ngẫu nhiên X biểu thị số lần xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu hai lần. Các giá trị có thể nhận của X là 0, 1, 2. Giả sử đồng xu là công bằng, ta có phân phối xác suất như sau:

Tính kỳ vọng và phương sai của X:

E(X) = 0 * 0.25 + 1 * 0.5 + 2 * 0.25 = 1

Var(X) = (0 - 1)^2 * 0.25 + (1 - 1)^2 * 0.5 + (2 - 1)^2 * 0.25 = 0.5

σ(X) = √0.5 ≈ 0.707

5. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Gọi X là số quả bóng đỏ được lấy ra. Tìm phân phối xác suất của X.
2. Một người chơi xổ số mua 10 vé. Xác suất trúng thưởng của mỗi vé là 0.1. Gọi Y là số vé trúng thưởng. Tính kỳ vọng và phương sai của Y.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng của chúng. Chúc các em học tập tốt!